Несобственные интегралы /qualihelpy

Несобственные интегралы

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Несобственным интегралом называют:

а) определенный интеграл, у которого хотя бы один из его пределов бесконечен;

б) определенный интеграл от неограниченной функции.

Формулы для вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования:

$LaTeX formula: \int_{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx;$ (7.59)

$LaTeX formula: \int_{-\infty}^{b }f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{b}f(x)dx;$ (7.60)

$LaTeX formula: \int_{-\infty}^{+\infty }f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{c}f(x)dx+\lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{c}^{b}f(x)dx.$ (7.61)

Формулы для вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций:

$LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a}^{b-\varepsilon }f(x)dx,$ (7.62)

если функция LaTeX formula: y=f(x)

не ограничена в окрестности точки LaTeX formula: b;

$LaTeX formula: I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{a+\varepsilon }^{b}f(x)dx,$ (7.63)

если функция LaTeX formula: y=f(x)

не ограничена в окрестности точки LaTeX formula: a.

Сходимость несобственных интегралов

Несобственный интеграл сходится, если существует конечный предел соответствующего ему собственного интеграла. Несобственный интеграл расходится, если предел соответствующего ему собственного интеграла не существует или равен бесконечности. Несобственный интеграл от неотрицательной функции LaTeX formula: y=f(x)

выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции. Если интеграл сходится, то площадь конечна, а если расходится, то бесконечна.

Пример 1. Вычислите несобственный интеграл $LaTeX formula: \int_{0}^{+\infty }sin2xdx$ или установите его расходимость.

Решение. Согласно формуле 7.59 запишем:

$LaTeX formula: \lim_{b\rightarrow +\infty }\int_{0}^{b}sin2xdx=-0,5\lim_{b\rightarrow +\infty } cos2x\left | _{0}^{b}=$ $LaTeX formula: -0,5\lim_{b\rightarrow +\infty } cos2b+0,5\lim_{b\rightarrow +\infty } 1=-0,5\lim_{b\rightarrow +\infty } cos2b+0,5.$

Поскольку $LaTeX formula: \lim_{b\rightarrow +\infty } cos2b$ не существует, то несобственный интеграл расходится.

Пример 2. Вычислите несобственный интеграл $LaTeX formula: \int_{-\infty }^{1}2^xdx$ или установите его расходимость.

Решение. Согласно формуле 7.60 запишем:

$LaTeX formula: \lim_{a\rightarrow -\infty }\int_{a}^{1}2^xdx=\lim_{a\rightarrow -\infty } \frac{2^x}{ln2}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{1}=\lim_{a\rightarrow -\infty } \frac{2}{ln2} -\lim_{a\rightarrow -\infty } \frac{2^a}{ln2} =$ $LaTeX formula: \frac{2}{ln2}-0= \frac{2}{ln2}.$

Несобственный интеграл сходится.

Ответ: $LaTeX formula: \frac{2}{ln2}.$

Пример 3. Вычислите несобственный интеграл $LaTeX formula: \int_{2}^{3}\frac{dx}{\sqrt[3]{x-2}}$ или установите его расходимость.

Решение. Поскольку подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки LaTeX formula: x=2,

то, применяя формулу 7.63 , получим: $LaTeX formula: \int_{2}^{3} (x-2)^{-\frac{1}{3}}dx=\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(x-2)^{\frac{2}{3}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{2+\varepsilon }^{3}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(2+\varepsilon -2) ^{\frac{2}{3}}=$ $LaTeX formula: \frac{3}{2}-\frac{3}{2} \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \varepsilon ^{\frac{2}{3}}=1,5.$

Ответ:

$LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }lnn=\infty ; \lim_{n\rightarrow 0 }lnn=-\infty;\lim_{n\rightarrow \infty }arctgn=\frac{\pi }{2};$ $LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow -\infty }arctgn=-\frac{\pi }{2};$ $LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }arcctgn=\pi ; \lim_{n\rightarrow -\infty }arcctgn=0;\lim_{n\rightarrow \infty } a^n=\infty ,\lim_{n\rightarrow -\infty } a^n=0,$ если LaTeX formula: a>1;

$LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty } a^n=0, \lim_{n\rightarrow -\infty } a^n= \infty ,$ если LaTeX formula: 0<a<1.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Несобственный интеграл