Экономические приложения интеграла /qualihelpy

Экономические приложения интеграла

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Нахождение объема производства

Если производительность труда в момент времени LaTeX formula: t

задается функцией LaTeX formula: y=f(t),

то объем продукции, выпущенной производителем за промежуток времени $LaTeX formula: \left [ 0;T \right ]$ находят по формуле:

$LaTeX formula: V=\int_{0}^{T}f(t)dt.$ (7.53)

Если функция Кобба-Дугласа имеет вид $LaTeX formula: g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t},$ то объем продукции, выпущенной производителем за LaTeX formula: t

лет, находят по формуле:

$LaTeX formula: V=\int_{0}^{t}(\alpha t+\beta )e^{\gamma t}dt.$ (7.54)

Определение среднего времени изготовления единицы продукции

Если функция LaTeX formula: t(x)

выражает время, затраченное на изготовление продукции, то среднее время, затраченное на изготовление единицы продукции, в период освоения изделий от $LaTeX formula: x_{1}$ до $LaTeX formula: x_{2}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: t_{cp.}=\frac{1}{x_{2}-x_{1}}\int_{x_{1}}^{x_{2}} t(x)dx.$ (7.55)

Средним значением функции LaTeX formula: f(x)

на отрезке LaTeX formula: [a;b]

называют число LaTeX formula: f(c),

которое находят по формуле:

$LaTeX formula: f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx.$ (7.56)

По формуле 7.56 можно вычислить среднее значение издержек производства, среднюю производительность труда, среднюю мощность и т. п.

Определение издержек производства

Если

– объем выпуска продукции, а LaTeX formula: MC=C{}'(q)

– функция предельных издержек (издержки на производство дополнительной единицы продукции), то функцию издержек LaTeX formula: C(q)

находят по формуле:

$LaTeX formula: C(q)=\int MCdq=F(q)+C_{0}.$ (7.57)

где $LaTeX formula: C_{0}=C(1)$ – издержки при производстве первой единицы продукции.

Нахождение дисконтированного дохода

Если функция LaTeX formula: f(t)

показывает поступление дохода за время LaTeX formula: t,

– удельная норма непрерывно начисляемого процента, то дисконтированный доход LaTeX formula: K

за время

равен:

$LaTeX formula: K=\int_{0}^{T}f(t)e^{-it}dt.$ (7.58)

Определение дисконтированной стоимости при непрекращающемся денежном потоке

Если

– рента земельного участка, а LaTeX formula: p

– непрерывная процентная ставка, то дисконтированная стоимость земельного участка может быть найдена по формуле:

$LaTeX formula: S=\int_{0}^{\infty }R(t)e^{-it}dt.$ (7.59)

где $LaTeX formula: i=\frac{p}{100}$ – удельная норма непрерывно начисляемого процента.

Пример 1. Найдите объем продукции, произведенной предприятием за LaTeX formula: 2

года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид $LaTeX formula: g(t)=(2t+1)e ^{\frac{t}{2}}.$
Решение. Согласно формуле 7.54 запишем:
$LaTeX formula: V=\int_{0}^{2}(2t+1)e^{\frac{t}{2}}dt$ .
Применим формулу интегрирования по частям:
$LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu.$
Положим LaTeX formula: 2t+1=u,

а $LaTeX formula: e^{\frac{t}{2}}dt=dv.$
Тогда: $LaTeX formula: 2dt=du,\int e^{\frac{t}{2}}dt=\int vdv$ , откуда $LaTeX formula: 2e^{\frac{t}{2}}=v.$
Найдем интеграл:
$LaTeX formula: V =2(2t+1)e^{\frac{t}{2}} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2}-4\int_{0}^{2}e^{\frac{t}{2}} dt$ ,
$LaTeX formula: V=(4t+2)e^{\frac{t}{2}} -8e^{\frac{t}{2}} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =(4t-6) e^{\frac{t}{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{2} =2e+6$ .
Ответ: LaTeX formula: 2e+6.

Пример 2. Найдите среднее значение издержек производства, если функция издержек имеет вид LaTeX formula: f(x)=8x^3+6x-5,

а объем производства изменился от LaTeX formula: 5

до

единиц.
Решение. Согласно формуле 7.56 получим:
$LaTeX formula: f(c)=\frac{1}{10-5}\int_{5}^{10}(8x^3+6x-5)dx$ ,
$LaTeX formula: f(c)=\frac{1}{5}(2x^4+3x^2-5x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{5}^{10}=3790$ (ден. ед.).
Ответ: LaTeX formula: 3 790

ден. ед.

Пример 3. Найдите дисконтированную стоимость земельного участка, если рента задается формулой $LaTeX formula: R(t)=10e^{-0,5t}$ (тыс. ден. ед.), а процентная ставка LaTeX formula: p=50

%.
Решение. Согласно формуле 7.59 получим:
$LaTeX formula: S=\int_{0}^{\infty }10e^{-0,5t}e^{-0,5t}dt$ ,
$LaTeX formula: S=-10\int_{0}^{\infty }e^{-t}d(-t)=-10e^{-t}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{\infty }$ ,
$LaTeX formula: S=-10\lim_{t\rightarrow \infty }e^{-t}+10=10$ .
Ответ: LaTeX formula: 10

тыс. ден. ед.

1. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид $LaTeX formula: y=a_{0}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}$ где

– величина общественного продукта, $LaTeX formula: x_{1}$ – затраты труда, $LaTeX formula: x_{2}$ – объем производственных фондов. Если затраты труда линейно зависят от времени, а затраты капитала неизменны, функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде $LaTeX formula: g(t)=(\alpha t+\beta )e^{\gamma t} .$

2. Функция затрат времени на изготовление продукции часто представляется в виде $LaTeX formula: t(x)=Ax^{-B},$ где LaTeX formula: A

– затраты времени на первое изделие, LaTeX formula: B

– показатель производственного процесса.

3. В случае простых процентов конечная сумма, полученная за LaTeX formula: t

лет, составляет $LaTeX formula: K_{t}=K_{0}(1+it),$ где $LaTeX formula: K_{0}$ – дисконтируемая (начальная или современная) сумма, $LaTeX formula: i=\frac{p}{100}$ – удельная процентная ставка.

В случае сложных процентов $LaTeX formula: K_{t}=K_{0}(1+it)^t.$

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Экономические приложения интеграла