Геометрические приложения интеграла /qualihelpy

Геометрические приложения интеграла

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Площадь плоской фигуры

Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции LaTeX formula: y=f(x)

, где $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ , отрезками прямых LaTeX formula: x=a

и осью

рис.

1. Площадь криволинейной трапеции (рис. 7.1) можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: S=\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{a}^{b} =F(b)-F(a).$ (7.45)

2. Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции LaTeX formula: x=f(y)

, где $LaTeX formula: f(y)\geq 0$ , отрезками прямых LaTeX formula: y=c,y=d

и осью

(рис.

), то ее площадь можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S=\int_{c}^{d}f(y)dy.$ (7.46)

3. Если функция LaTeX formula: y=f(x)

принимает отрицательные значения на отрезке LaTeX formula: [a;b]

(рис.

), то площадь фигуры, ограниченной графиком функции LaTeX formula: y=f(x),

отрезками прямых LaTeX formula: x=a,y=b

можно также вычислить с помощью определенного интеграла. Но так как в этом случае интеграл будет отрицательным, то

$LaTeX formula: S=\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |=\left |F(b)-F(a) \right |.$ (7.47)

4. Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций $LaTeX formula: y=f_{1}(x),y=f_{2}(x)$ и отрезками прямых LaTeX formula: x=a,x=b

(рис.

),можно вычислить по формуле:

$LaTeX formula: S=\left |\int_{a}^{b}(f_{1}(x)-f_{2}(x))dx \right |.$ (7.48)

5. Площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций $LaTeX formula: y=f_{1}(x)$ и $LaTeX formula: y=f_{2}(x)$ (рис. LaTeX formula: 7.5

) можно вычислить по формуле 7.48, следуя алгоритму:
1) найти абсциссы $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{2}$ точек пересечения графиков функций $LaTeX formula: y=f_{1}(x)$ и $LaTeX formula: y=f_{2}(x) ,$ решая уравнение $LaTeX formula: f_{1}(x) =f_{2}(x) .$ ;
2) записать пределы интегрирования $LaTeX formula: a=x_{1}$ и $LaTeX formula: b=x_{2} ;$
3) составить подынтегральную функцию $LaTeX formula: f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x);$
4) вычислить интеграл $LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=A ;$
5) записать $LaTeX formula: S=\left |A \right |.$

Объем тела вращения

1. Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси LaTeX formula: Ox

криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции LaTeX formula: y=f(x),

отрезками прямых LaTeX formula: y=0,x=a

можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: V=\left |\pi \int_{a}^{b}f^2(x)dx \right |.$ (7.49)

2. Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси LaTeX formula: Oy

криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции LaTeX formula: x=f(y),

отрезками прямых LaTeX formula: y=c

можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: V=\left |\pi \int_{c}^d}f^2(y)dy \right |.$ (7.50)

Длина дуги плоской кривой

1. Длину дуги кривой LaTeX formula: y=f(x),

где $LaTeX formula: a\leq x\leq b,$ находят по формуле:
$LaTeX formula: l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f{}'(x))^2}dx.$ (7.51)

2. Длину дуги кривой, заданной параметрически $LaTeX formula: x=f_{1}(t),y=f_{2}(t),$ где $LaTeX formula: t_{1}\leq t\leq t_{2},$ находят по формуле:
$LaTeX formula: l=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(f_{1}{}'(t))^2+(f_{2}{}'(t))^2}dt$ . (7.52)

Пример 1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями LaTeX formula: y=sinx, y=0,x=0

и $LaTeX formula: x=0,5 \pi .$
Решение. Так как на отрезке $LaTeX formula: \left [0;0,5\pi \right ]$ функция LaTeX formula: y=sinx

неотрицательная (рис. LaTeX formula: 7.6

), то согласно формуле 7.45 получим:
$LaTeX formula: S=\int_{0}^{0,5\pi }sinxdx=-cosx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{0,5\pi }=-cos0,5\pi +cos0=0+1=1.$
Ответ: LaTeX formula: 1.

Пример 2. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $LaTeX formula: y=sinx,x=\pi$ и $LaTeX formula: x=2\pi .$
Решение. Так как на отрезке $LaTeX formula: \left [\pi ;2\pi \right ]$ функция

неположительная (рис. LaTeX formula: 7.6

), то согласно формуле 7.47 получим:
$LaTeX formula: S=\left |\int_{\pi }^{2\pi }sinxdx \right |=\left |-cosx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{\pi }^{2\pi } \right |=\left |-cos2\pi +cos\pi \right |=$ $LaTeX formula: \left |-1-1 \right |=2.$
Ответ: LaTeX formula: 2.

Пример 3. Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $LaTeX formula: y=sinx,x=0,25\pi$ и $LaTeX formula: x=1,5\pi.$
Решение. Так как на отрезке $LaTeX formula: \left [0,25\pi ;\pi \right ]$ функция

неотрицательная, а на отрезке $LaTeX formula: \left [\pi ;1,5\pi \right ]$ она неположительная, то согласно формулам 7.45 и 7.47 получим:
$LaTeX formula: S=\int_{0,25\pi }^{\pi }\sin{x}dx+\left |\int_{\pi }^{1,5\pi }\sin{x}dx \right |$ .

Найдем интегралы:
1) $LaTeX formula: I_1=\int_{0,25\pi }^{\pi }\sin{x}dx =-\cos{x}\left | _{0,25\pi }^{\pi }\right =-\cos\pi+\cos{0,25\pi}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

2) $LaTeX formula: I_2=\int_{\pi }^{1,5\pi }\sin{x}dx =-\cos{x}\left | _{\pi }^{1,5\pi }\right =-\cos{1,5\pi}+\cos{\pi}=-1$ .
Найдем площадь фигуры:
$LaTeX formula: S=1+0,5\sqrt {2}+|-1|=2+0,5\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2+0,5\sqrt{2}.$

Пример 4. Вычислите объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси LaTeX formula: Oy

фигуры, ограниченной линиями LaTeX formula: xy=3,x=0,y=1

Решение. Запишем уравнение гиперболы в виде $LaTeX formula: x=\frac{3}{y}.$ Согласно формуле 7.50 получим:
$LaTeX formula: V=\pi \int_{1}^{3}\frac{9}{y^2}dy=-\frac{9\pi }{y}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{3} =-3\pi +9\pi =6\pi .$
Ответ: $LaTeX formula: 6\pi .$

Пример 5. Вычислите длину дуги кривой $LaTeX formula: x=2y^{\frac{3}{2}}$ ограниченную линиями LaTeX formula: y=0

Решение. Составим подынтегральную функцию:
1) $LaTeX formula: x{}'=2\left (y^{1,5} \right ){}'=3y^{0,5};$
2) $LaTeX formula: \left (x{}' \right )^2=9y;$
3) $LaTeX formula: \sqrt{1+\left (x{}' \right )^2}=\sqrt{1+9y}=(1+9y)^{\frac{1}{2}}.$
Согласно формуле 7.51 получим:
$LaTeX formula: l=\frac{1}{9}\int_{1}^{4}(1+9y)^{\frac{1}{2}} d(1+9y) =\frac{2}{27}\left (1+9y\right )^{\frac{3}{2}}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{27}\left (10\sqrt{10}-1\right )$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{2}{27}\left (10\sqrt{10}-1\right )$ .

Если плоская фигура ограничена линиями $LaTeX formula: x=f_{1}(y)$ и $LaTeX formula: x=f_{2}(y)$ , отрезками прямых LaTeX formula: y=c,y=d

, то ее площадь можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: S=\left |\int_{c}^{d}(f_{1}(y)-f_{2}(y))dy \right | .$

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Геометрические приложения интеграла