Определенный интеграл /qualihelpy

Определенный интеграл

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Рассмотрим непрерывную неотрицательную функцию LaTeX formula: f(x),

определенную на некотором отрезке LaTeX formula: [a;b],

который разобьем на LaTeX formula: n

элементарных отрезков длин $LaTeX formula: \Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}.$ В каждом из этих отрезков произвольным образом выберем точку $LaTeX formula: \xi_k$ (рис. 7.1) и найдем произведения значений функции в этой точке $LaTeX formula: f(\xi_k)$ и $LaTeX formula: \Delta x_{k},$ где $LaTeX formula: k=\overline{1,n}.$

Интегральной суммой называют выражение вида:
$LaTeX formula: \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k}$ . LaTeX formula: (7.38)

Определенным интегралом от функции LaTeX formula: f(x)

называют предел ее интегральной суммы:

$LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{d\rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k})\Delta x_{k} ,$ LaTeX formula: (7.39)

где

– наибольшая из длин отрезков $LaTeX formula: \Delta x_{k};$ LaTeX formula: x

– переменная интегрирования; LaTeX formula: a

– нижний,

– верхний пределы интегрирования.

Связь между неопределенным и определенным интегралом выражает теорема Ньютона – Лейбница: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования.
Формула Ньютона–Лейбница:
$LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b) -F(a) .$ (7.40)

Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C,$ а $LaTeX formula: \int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{4}^{9}=2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=6-4=2.$

Основные свойства определенного интеграла:

$LaTeX formula: \int_{a}^{b} kf(x)dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx;$ LaTeX formula: (7.41)

$LaTeX formula: \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx ;$ LaTeX formula: (7.42)

$LaTeX formula: \int_{a}^{a} f(x)dx=0;$ LaTeX formula: (7.43)

$LaTeX formula: \int_{a}^{b} \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int_{a}^{b} \left f_{1}(x)dx\pm \left f_{2}(x)dx.$ LaTeX formula: (7.44)

Пример 1. Вычислите интеграл $LaTeX formula: \int_{-1}^{1}\frac{(2x+5)dx}{(x^2+5x+4)^{2}}.$

Решение. Воспользуемся формулой преобразования дифференциала 7.25:
$LaTeX formula: I=\int_{0}^{1}\frac{(2x+5)d(x^2+5x+4)}{(x^2+5x+4)^{2}(2x+5)}$ ,

$LaTeX formula: I=\int_{0}^{1}\frac{d(x^2+5x+4)}{(x^2+5x+4)^{2}}$ .
Применяя табличный интеграл $LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$ и формулу Ньютона-Лейбница, получим:
$LaTeX formula: I=-\frac{1}{x^2+5x+4}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{4}=\frac{3}{20}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{3}{20}$ .

Пример 2. Вычислите интеграл $LaTeX formula: \int_{1}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}+1}.$
Решение. Применим метод подстановки 7.24 и формулу 7.40 .
Полагая $LaTeX formula: \sqrt{x}=t,$ получим: LaTeX formula: x=t^2, dx=2tdt.

Учитывая, что $LaTeX formula: x_{1}=1,$ а $LaTeX formula: x_{2}=4,$ найдем новые пределы интегрирования:
$LaTeX formula: t_{1}=\sqrt{1}=1$ , $LaTeX formula: t_{2}=\sqrt{4}=2$ .
Найдем интеграл:
$LaTeX formula: I=\int_{1}^{2}\frac{2tdt}{t+1}$ , $LaTeX formula: I=2\int_{1}^{2}\frac{(t+1)-1}{t+1}dt$ , $LaTeX formula: I=2\int_{1}^{2}dt-2\int_{1}^{2} \frac{dt}{t+1}$ ,
$LaTeX formula: I=2t-2ln \left |t+1 \right |\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}$ , $LaTeX formula: I=4-2\ln{3}-2+2\ln{2}=2+2\ln{\frac{2}{3}}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2+2ln\frac{2}{3}.$

Пример 3. Вычислите интеграл $LaTeX formula: \int_{0}^{1}\arcsin{x}dx$ .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 и формулу 7.40 .

Положим $LaTeX formula: \arcsin{x}=u$ а LaTeX formula: dx=dv,

откуда $LaTeX formula: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du$ , LaTeX formula: x=v

.
Найдем интеграл:
$LaTeX formula: I=x\arcsin{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$ , $LaTeX formula: I=x\arcsin{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{xd(1-x^2)}{-2x\sqrt{1-x^2}}$ ,

$LaTeX formula: I=x\arcsin{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$ , $LaTeX formula: I=\left (x\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}\right ) \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}$ ,