Неопределенный интеграл /qualihelpy

Неопределенный интеграл

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Функцию

называют первообразной функции LaTeX formula: f(x)

в промежутке LaTeX formula: (a; b),

если при всех $LaTeX formula: x \in (a; b)$ выполняется равенство LaTeX formula: F{}'(x)=f(x).

Если функция LaTeX formula: F(x)

– первообразная функции LaTeX formula: f(x)

, то функция LaTeX formula: G(x)=F(x)+C

так же является первообразной функции LaTeX formula: f(x)

,
где

– произвольная постоянная.

Неопределенным интегралом от функции LaTeX formula: f(x)

называют множество всех ее первообразных:

$LaTeX formula: \int f(x)dx=F(x)+C,$ (7.1)
где LaTeX formula: F{}'(x)=f(x).

Функцию

называют подынтегральной функцией, выражение LaTeX formula: f(x)dx

– подынтегральным выражением.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

$LaTeX formula: \int kf(x)dx=k \int f(x)dx,$ (7.2)

$LaTeX formula: k = const, k \neq 0.$

2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

$LaTeX formula: \int (f_{1}(x)\pm f_{2}(x))dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx.$ (7.3)

Непосредственное интегрирование

Этот метод применяют в случае, когда при помощи свойств 7.2 и 7.3 (или одного из них) возможен переход непосредственно к одному или нескольким простейшим интегралам таблицы LaTeX formula: 1.

Таблица 1. Простейшие неопределенные интегралы

$LaTeX formula: \int 1\cdot dx=\int dx=x+C$ (7.4) $LaTeX formula: \int cosxdx=sinx+C$ (7.11)

$LaTeX formula: \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (7.5) $LaTeX formula: \int sinxdx=-cosx+C$ (7.12)

$LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C$ (7.6) $LaTeX formula: \int \frac{dx}{cos^2x}=tgx+C$ (7.13)

$LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$ (7.7) $LaTeX formula: \int \frac{dx}{sin^2x}=-ctgx+C$ (7.14)

$LaTeX formula: \int \frac{1}{x}dx=\int \frac{dx}{x} =ln \left |x \right |+C$ (7.8) $LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C$ (7.15)

$LaTeX formula: \int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C$ (7.9) $LaTeX formula: \int \frac{dx}{1+x^2}=arctgx+C$ (7.16)

$LaTeX formula: \int e^xdx=e^x+C$ (7.10) $LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}ln \frac{\left |x-1 \right |}{\left |x+1 \right |} +C$ (7.17)

В таблице

можно также везде вместо LaTeX formula: x

записать

где

любая дифференцируемая функция. Например:

1) если

то согласно формуле 7.8 можно записать $LaTeX formula: \int \frac{d(2x+7)}{2x+7}=ln \left |2x+7 \right |+C;$

2) если $LaTeX formula: u=\frac{x}{5},$ то согласно 7.12 формуле получим $LaTeX formula: \int sin\frac{x}{5} d\left (\frac{x}{5} \right )=-cos\frac{x}{5}+C.$

Таблица 2. Неопределенные интегралы

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left |u-a \right |}{\left |u+a \right |}+C$ (7.18)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$ (7.19)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.20)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a}}=ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.21)

$LaTeX formula: \int \sqrt{u^2+a}du=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+a} +\frac{a}{2}ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.22)

$LaTeX formula: \int \sqrt{a^2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\frac{a^2}{2}arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.23)

Аналогично применяются и формулы таблицы LaTeX formula: 2.

Н а п р и м е р, если LaTeX formula: u=2+x

то согласно формуле 7.20 получим

$LaTeX formula: \int \frac{d(2+x)}{\sqrt{9-(2+x)^2}}=arcsin \frac{2+x}{3}+C.$

Пример 1. Убедимся, что функция LaTeX formula: F(x)=5sinx+2x^3

является первообразной функции LaTeX formula: F(x)=5cosx+6x^2

на области всех действительных чисел.
Решение.
Действительно, $LaTeX formula: F{}'(x)=5cosx+6x^2=f(x).$
Функция LaTeX formula: G(x)=5sinx+2x^3 -10

также является первообразной этой функции, так как $LaTeX formula: G{}'(x)=5cosx+6x^2-0=f(x).$

Пример 2. Убедимся, что равенство $LaTeX formula: \int (e^x-1)dx=e^x-x+C$ верное.
Решение.
Так как $LaTeX formula: \left (e^x-x+C \right ){}'=e^x-1+0=e^x-1,$ то, действительно, это равенство верное.

Пример 3. Найдем интеграл $LaTeX formula: I=\int \left (6x^2+5x \right )dx.$
Решение. На основании свойств 7.2 и 7.3 запишем
$LaTeX formula: I=\int 6x^2dx+\int 5xdx=6\int x^2dx+5\int xdx$ .

На основании формулы 7.5 получим:
$LaTeX formula: I=6\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+C_{1}+5\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} +C_{2}=2x^3+2,5x^2+C_{1}+C_{2}.$

Поскольку сумма произвольных постоянных есть произвольная постоянная $LaTeX formula: C_{1}+C_{2}=C,$ то ответ записывают так:
LaTeX formula: I=

1. Каждая из формул таблиц LaTeX formula: 1

справедлива только в области определения соответствующей функции.

2. Многие интегралы можно найти непосредственно, если предварительно преобразовать подынтегральные функции.
Н а п р и м е р, чтобы найти интеграл $LaTeX formula: I=\int \left (\sqrt{x}+2x \right )^2dx,$ необходимо выполнить следующие преобразования:
$LaTeX formula: (\sqrt{x}+2x) ^2=x+4x\sqrt{x}+4x^2=x+4x^{\frac{3}{2}} +4x^2.$

Тогда, применяя свойства 7.2 и 7.3, а также формулу 7.5 получим:
$LaTeX formula: I=\int xdx+4\int x^{\frac{3}{2}}dx+4\int x^2dx$ ,
$LaTeX formula: I=\frac{x^2}{2}+\frac{8x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4x^3}{3}+C$ .

Непосредственное интегрирование

Метод подстановки

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Неопределенный интеграл