Некоторые приложения производной /qualihelpy

Некоторые приложения производной

Справочник / Студент / Дифференциальное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Касательная и нормаль графика функции

Уравнение касательной, проведенной к графику функции LaTeX formula: y=f(x) в точке $LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0}))$ , имеет вид:

$LaTeX formula: y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$ . (6.10)
Уравнение нормали , проведенной к графику функции LaTeX formula: y=f(x)

в точке $LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0}))$ , имеет вид:

$LaTeX formula: y=f(x_{0})-\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})$ . (6.11)

2. Приближенные вычисления значений функции

Приближенное значение функции LaTeX formula: y=f(x) в точке $LaTeX formula: x=x_{0}+\Delta x$ находят по формуле:

$LaTeX formula: f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot \Delta x$ . (6.12)

3. Вычисление пределов функции
Правило Лопиталя-Бернулли: если функции LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x) определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми или бесконечно большими в некоторой окрестности точки , то справедливо равенство:

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ . (6.13)

Правило 6.13 можно применять и в случаях, когда:

а) аргумент функции стремится к значению, которое не входит в ее область определения, например $LaTeX formula: \frac{tg x}{tg5x}$ , при $LaTeX formula: x\rightarrow \frac{\pi }{2}$ ;

б) при раскрытии неопределенности вида $LaTeX formula: \infty -\infty$ , преобразовав разность в частное, например, $LaTeX formula: \left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{\ln x}\right )$ при $LaTeX formula: x\rightarrow 1$ ;

в) при раскрытии неопределенности вида $LaTeX formula: 0\cdot \infty$ , преобразовав произведение в частное, например, функцию $LaTeX formula: (\sin x-x)\ln x$ при $LaTeX formula: x\rightarrow0$ преобразуем так: $LaTeX formula: \frac{lnx}{\frac{1}{sinx-x}}$ ;

г) при раскрытии неопределенностей вида $LaTeX formula: 1^{\infty }$ , $LaTeX formula: 0^{0}$ и $LaTeX formula: \infty ^{0}$ , выполнив предварительное логарифмирование по формуле

$LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ , например, функцию $LaTeX formula: (\ln x)^{2-2x}$ при $LaTeX formula: x\rightarrow 1$ (неопределенность вида $LaTeX formula: 0^{0}$ ) преобразуем так: $LaTeX formula: e^{(2-2x)\ln (\ln x)}$ .

Пример 1 . Найдите уравнение касательной к графику функции $LaTeX formula: f(x)=\frac{2-x}{3+x}$ в точке с абсциссой $LaTeX formula: x_{0}=1$ .
Решение . 1. Найдем значение функции в точке $LaTeX formula: x_{0}=1$ : $LaTeX formula: f(1)=\frac{1}{4}$ .
2. Используя формулу $LaTeX formula: \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ найдем производную функции: $LaTeX formula: f'(x)=\frac{(2-x)'(3+x)-(2-x)(3+x)'}{(3+x)^{2}}=\frac{-3-x-2+x}{(3+x)^{2}}=$ LaTeX formula: -

$LaTeX formula: \frac{5}{(3+x)^{2}}$ .
3. Найдем значение производной в точке $LaTeX formula: x_{0}=1$ : $LaTeX formula: f'(1)=-\frac{5}{16}$ .
4. Согласно формуле 6.10 запишем уравнение касательной:
$LaTeX formula: y=\frac{1}{4}-\frac{5}{16}(x-1)$ , $LaTeX formula: y=\frac{1}{4}-\frac{5}{16}x+\frac{5}{16}$ , $LaTeX formula: y=-\frac{5}{16}x+\frac{9}{16}$ .
Ответ : $LaTeX formula: y=-\frac{5}{16}x+\frac{9}{16}$ .

Пример 2. Найдите приближенно $LaTeX formula: \sqrt{3,9}$ .

Решение . 1. Согласно формуле 6.12 запишем:

$LaTeX formula: f(4-0,1)\approx f(4)+f'(4)\cdot (-0,1)$

2. Имеем функцию $LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x}$ . Тогда $LaTeX formula: f(4)=\sqrt{4}=2$ .
3. Найдем ее производную: $LaTeX formula: f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Тогда $LaTeX formula: f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=0,25$ .
4. Получим: $LaTeX formula: \sqrt{3,9}\approx 2+0,25\cdot (-0,1)=2-0,025=1,975$ .
Ответ : LaTeX formula: 1,975

.
Пример 3. Вычислите предел $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+\ln x}{2x+x^{2}}$ .
Решение . Имеем неопределенность вида $LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }$ . Применим правило 6.13: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(2x+\ln x)'}{(2x+x^{2})'}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{2+2x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+1}{2x+2x^{2}}$ .
Снова имеем неопределенность вида $LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }$ . Еще раз применим правило6.13: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(2x+1)'}{(2x+2x^{2})'}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{2+4x}=0$ .
Ответ : 0.

1. Правило 6.13 применяют в случаях наличия неопределенностей вида $LaTeX formula: \frac{0 }{0 }$ и $LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }$ , но при условии, что пред ел $LaTeX formula: \frac{f'(x) }{g'(x) }$ существует или равен бесконечности.
2. Если частное $LaTeX formula: \frac{f'(x) }{g'(x)}$ в свою очередь дает неопределенность вида $LaTeX formula: \frac{0 }{0 }$ или $LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }$ , то можно несколько раз применять правило Лопиталя-Бернулли, но при условии, что все пределы существуют.

Нормаль к графику функции

Касательная к графику функции

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Некоторые приложения производной