Производная функции одной переменной /qualihelpy

Производная функции одной переменной

Справочник / Студент / Дифференциальное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Производная функции

Производной функции LaTeX formula: y=f(x)

в данной точке называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, и записывают:
$LaTeX formula: f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow \infty }\frac{\Delta f(x_{0})}{\Delta x}$ , (6.1)

где $LaTeX formula: \Delta f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta y$ – приращение функции, а $LaTeX formula: \Delta x$ – приращение ее аргумента в точке $LaTeX formula: x_{0}$ , $LaTeX formula: x_{1}=x_{0}+\Delta x$ (рис. 6.1).

Производная функции показывает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Операцию нахождения производной называют дифференцированием .

Производной второго порядка (второй производной) функции LaTeX formula: y=f(x) называют производную ее первой производной и записывают: LaTeX formula: y''=(f'(x))' .
Аналогично находят производную третьего порядка: LaTeX formula: y'''=(f''(x))' .
Производную порядка LaTeX formula: n записывают: $LaTeX formula: y^{(n)}$ .

Геометрический смысл производной

Рассмотрим функцию LaTeX formula: y=f(x) и прямую LaTeX formula: y=kx+b , которая является касательной к графику функции и проведена в точке с координатами $LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0}))$ (рис. 6.2).

Угловой коэффициент LaTeX formula: k касательной находят по формуле:

$LaTeX formula: k=f'(x_{0})$ или $LaTeX formula: k= \ tg \alpha$ , (6.2)

где $LaTeX formula: \alpha$ – угол между касательной и положительным направлением оси LaTeX formula: Ox .

Равенство $LaTeX formula: f'(x_{0})= \ tg \alpha$ выражает геометрический смысл производной.

Дифференциал функции

Дифференциалом LaTeX formula: dy функции LaTeX formula: y=f(x) называют произведение ее производной и приращения независимой переменной:

$LaTeX formula: dy=f'(x)\cdot \Delta x$ .

Дифференциал функции можно найти по формуле:

$LaTeX formula: dy=f'(x)\cdot d x$ , (6.3)

где $LaTeX formula: dx= \Delta x$ .

Действительно, например, при LaTeX formula: f(x)=x , получим: $LaTeX formula: dx=1\cdot \Delta x=\Delta x$ .

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к функции в точке, абсцисса которой получает приращение $LaTeX formula: \Delta x$ (рис. 6.3).

Основные правила дифференцирования

$LaTeX formula: (k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ , где LaTeX formula: k

– число; (6.4)
LaTeX formula: (u+v)'=u'+v'

, где $LaTeX formula: u=f_{1}(x)$ , $LaTeX formula: v=f_{2}(x)$ ; (6.5)
$LaTeX formula: (u\cdot v)'=u'v+uv'$ ; (6.6)
$LaTeX formula: \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ ; (6.7)

$LaTeX formula: (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ . (6.8)

Производные элементарных и сложных функций

Таблица производных:

Производная неявной функции

Чтобы найти производную LaTeX formula: y' неявной функции LaTeX formula: F(x;y)=0 , необходимо дифференцировать обе части равенства , считая, что LaTeX formula: x – независимая переменная, а – зависимая от переменная, и из полученного уравнения выразить явно LaTeX formula: y' .

Производная функции, заданной параметрически

Производную функции $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=f(t) & \\ y=g(t)& \end{matrix}\right.$ находят по формуле:
$LaTeX formula: y'_{x}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}}$ (6.9)

Производная показательно-степенной функции

Чтобы найти производную показательно-степенной функции $LaTeX formula: y=f(x)^{g(x)}$ необходимо:
1) прологарифмировать обе части уравнения $LaTeX formula: y=f(x)^{g(x)}$ :
$LaTeX formula: \ln y=\ln f(x)^{g(x)}$ ;
2) согласно свойству логарифмов $LaTeX formula: \log _{a}x^{n}=n\log _{a}x$ записать:
$LaTeX formula: \ln y=g(x)\ln f(x)$ ;
3) найти производные левой и правой части последнего уравнения: $LaTeX formula: (\ln y)'=(g(x)\ln f(x))'$ , $LaTeX formula: \frac{y'}{y}=(g(x)\ln f(x))'$ ;
4) выразить LaTeX formula: y' явно: $LaTeX formula: {y'=(g(x)\ln f(x))'\cdot y$

Пример 1. Найдите дифференциал функции $LaTeX formula: y=(6+\ln x)^{5}$ .

Решение . Воспользуемся таблицей производных и формулой $LaTeX formula: (g^{n}(x))'=ng^{n-1}(x)\cdot g'(x)$ :
$LaTeX formula: y'=5(6+\ln x)^{5-1}\cdot (6+\ln x)'=5(6+\ln x)^{4}\cdot \left ( 0+\frac{1}{x} \right )$ $LaTeX formula: =\frac{5(6+\ln x)^{4}}{x}$ .
Согласно формуле 6.3 найдем дифференциал функции:

$LaTeX formula: dy=\frac{5(6+\ln x)^{4}dx}{x}$ .

Пример 2. Найдите производную функции $LaTeX formula: x^{3}+y^{2}=e^{x+y}$ .
Решение . Применяя правила нахождения производной суммы 6.5 и, используя таблицу производных, получим:
$LaTeX formula: (x^{3})'+(y^{2})'=e^{x+y}(x+y)'$ , $LaTeX formula: 3x^{2}+2yy'=e^{x+y}(1+y')$ .

Выразим явно LaTeX formula: y'

:
$LaTeX formula: 2yy'-e^{x+y}y'=e^{x+y}-3x^{2}$ , откуда $LaTeX formula: y'=\frac{e^{x+y}-3x^{2}}{2y-e^{x+y}}$ .

Пример 3. Найдите производную функции $LaTeX formula: y=\cos t$ , $LaTeX formula: x=2t+\cos t$ .
Решение . 1. Используя таблицу производных найдем:
$LaTeX formula: y'=(\cos t)'=-\sin t$ , $LaTeX formula: x'_{t}=(2t)'+(\cos t)'=2-\sin t$ .
2. Согласно формуле 6.9 запишем: $LaTeX formula: y'_{x}=-\frac{\sin t}{2-\sin t}$ .

Пример 4. Найдите производную функции $LaTeX formula: y=x^{x}$ .

Решение. 1. Прологарифмируем обе части уравнения:
$LaTeX formula: \ln y=\ln x^{x}$ , $LaTeX formula: \ln y=x\cdot \ln x$ .

2. Используя формулу 6.6 и таблицу производных, найдем производные левой и правой части этого равенства:
$LaTeX formula: (\ln y)'=(x)'\cdot \ln x+x\cdot (\ln x)'$ , $LaTeX formula: \frac{y'}{y}=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}$ , $LaTeX formula: \frac{y'}{y}= \ln x+1$ .
3. Выразим явно LaTeX formula: y'