Предел функции /qualihelpy

Предел функции

Справочник / Студент / Пределы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Предел функции

Число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists \delta > 0$ такое, что $LaTeX formula: \forall x:0< \left | x-a \right |< \delta$ , выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | f(x)-b \right |< \varepsilon$ (рис. 5.5).

Записывают: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ .

Иначе: число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если для любой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ аргументов функции, сходящейся к LaTeX formula: a , соответствующая последовательность значений функции $LaTeX formula: \left \{ f(x_{n}) \right \}$ сходится к LaTeX formula: b .

Различают:
1) левосторонний предел функции в точке LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b$ ;

2) правосторонний предел функции в точке LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=b$ .

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предела функции в этой точке.

Н а п р и м е р, на рисунке 5.6, $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ и $LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2}$ . Следовательно, не существует предела функции в точке LaTeX formula: a .

Н а п р и м е р, на рисунке 5.7, $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ , а $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ . Следовательно, предела функции в точке LaTeX formula: a не существует.

Свойства пределов:

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$ ; (5.3)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$ ; (5.4)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(c\cdot f(x))=c\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ; (5.5)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.6)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.7)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ ; (5.8)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f^{n}(x)=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{n}$ ; (5.9)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ . (5.10)

Равенство 5.10 справедливо, если пределы $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ и $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ конечны.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Функцию $LaTeX formula: \alpha (x)$ называют бесконечно малой в точке LaTeX formula: a или в бесконечности, если ее предел в этой точке или в бесконечности равен нулю:
$LaTeX formula: \lim_{x \to a }\alpha(x)=0$ или $LaTeX formula: \lim_{x\to \infty }\alpha(x)=0$ .

Две бесконечно малые функции $LaTeX formula: \alpha (x)$ и $LaTeX formula: \beta (x)$ называют эквивалентными бесконечно малыми при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ , если:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=1$ . (5.11)

Записывают: $LaTeX formula: \alpha (x)\sim \beta (x)$ при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ .

Н а п р и м е р, при $LaTeX formula: x\rightarrow0$ верно, что: $LaTeX formula: \sin x\sim x$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}x\sim x$ , $LaTeX formula: \ln (1+x)\sim x$ . (5.12)

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

2. Функцию LaTeX formula: y=f(x)

называют бесконечно большой в точке LaTeX formula: a

или в бесконечности, если ее передел в этой точке или в бесконечности равен бесконечности:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty$ или $LaTeX formula: \lim_{x \to \infty }f(x)=\infty$ .

3. Если функция $LaTeX formula: \alpha (x)$ бесконечно малая в точке или в бесконечности, то функция $LaTeX formula: \frac{1}{\alpha(x)}$ бесконечно большая в этой точке или в бесконечности.

4. Справедливы равенства:

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{k}{x}=0$ ; (5.13)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty$ (5.14)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$ (5.15)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.16)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.17)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.18)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.19)

Свойства бесконечно малых функций:

1) алгебраическая сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

2) произведение бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

3) произведение бесконечно малой функции и постоянной величины является бесконечно малой функцией;

2) произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции является бесконечно малой функцией.

Пример 1 . Вычислим $LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}$ .

Решение . Применяя свойства 5.8, 5.6 , 5.4, 5.9 и 5.3 , получим:

$LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+6)}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}+\lim_{x\rightarrow 0}6}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-\lim_{x\rightarrow 0}2}$ $LaTeX formula: =\frac{0^{2}+6}{3\cdot 0-2}=-3$ .

Ответ: LaTeX formula: -3 .

Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката).

Квантор всеобщности обозначается $LaTeX formula: \forall$ и читается: «для всех …» или «для любого …».

Квантор существования обозначается $LaTeX formula: \exists$ и читается: «существует …» или «найдется …».

Тогда определение числовой последовательности можем записать так:
число LaTeX formula: a является пределом числовой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n> N_{0}:\left | x_{n}-a \right |< 0$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_свойства_пределов