Предел числовой последовательности и функции /qualihelpy

Предел числовой последовательности и функции

Справочник / Студент / Пределы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Предел числовой последовательности

Число

является пределом числовой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если для любого сколь угодно малого $LaTeX formula: \varepsilon >0$ найдется такой номер $LaTeX formula: N_{0}$ , что при всех $LaTeX formula: n> N_{0}$ выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | x_{n} -a\right |< \varepsilon$ .

Записывают: $LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }x_{n}=a$ .

Геометрический смысл предела: число LaTeX formula: a является пределом последовательности , если в любой его $LaTeX formula: \varepsilon$ -окрестности содержатся почти все члены последовательности, а вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов (рис. 5.4).

Сходимость последовательностей

Сходящейся называется числовая последовательность, предел которой существует.

Расходящейся называется числовая последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.
Н а п р и м е р:
1) числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ \frac{1}{n} \right \}$ сходится и $LaTeX formula: \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0$ ;
2) числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ \sin 5x \right \}$ расходится, так как при $уравнение$ ее предел не существует.

Ограниченность последовательностей

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ ограничена, если $LaTeX formula: \exists M> 0$ , то $LaTeX formula: \exists n\in N$ такое, что $LaTeX formula: \forall n\in N$ выполняется $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |\leq M$ .

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ не ограничена, если $LaTeX formula: \forall M> 0$ $LaTeX formula: \exists n\in N$ такое, что $LaTeX formula: \forall n\in N$ выполняется $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> M$ .
Н а п р и м е р: числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ a_{n} \right \}=\left \{ 5;10;15;... \right \}$ ограничена снизу.

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Бесконечно малые и большие последовательности

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ бесконечно малая, если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n > N$ выполняется $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |< \varepsilon$ .

Числовая последовательность $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ бесконечно большая, если $LaTeX formula: \forall A> 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n> N_{0}$ выполняется $LaTeX formula: \left | x_{n} \right |> A$ .
Н а п р и м е р, последовательность $LaTeX formula: \left \{ \frac{5}{n} \right \}$ бесконечно малая, а последовательность $LaTeX formula: \left \{ 5+n \right \}$ бесконечно большая при $LaTeX formula: n\to \infty$ .

Предел функции

Число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists \delta > 0$ такое, что $LaTeX formula: \forall x:0< \left | x-a \right |< \delta$ , выполняется неравенство $LaTeX formula: \left | f(x)-b \right |< \varepsilon$ (рис. 5.5).

Записывают: $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ .

Иначе: число LaTeX formula: b называют пределом функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=a , если для любой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ аргументов функции, сходящейся к LaTeX formula: a , соответствующая последовательность значений функции $LaTeX formula: \left \{ f(x_{n}) \right \}$ сходится к LaTeX formula: b .

Различают:
1) левосторонний предел функции в точке LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b$ ;

2) правосторонний предел функции в точке LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=b$ .

Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то не существует и предела функции в этой точке.

Н а п р и м е р, на рисунке 5.6, $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ и $LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2}$ . Следовательно, не существует предела функции в точке LaTeX formula: a .

Н а п р и м е р, на рисунке 5.7, $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=b_{1}$ , а $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=+\infty$ . Следовательно, предела функции в точке LaTeX formula: a не существует.

Свойства пределов:

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}c=c$ ; (5.3)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}x=x_{0}$ ; (5.4)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(c\cdot f(x))=c\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ; (5.5)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\pm \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.6)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ ; (5.7)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ ; (5.8)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f^{n}(x)=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{n}$ ; (5.9)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}(f(x))^{g(x)}=\left ( \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) \right )^{\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)}$ . (5.10)

Равенство 5.10 справедливо, если пределы $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ и $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)$ конечны.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1. Функцию $LaTeX formula: \alpha (x)$ называют бесконечно малой в точке LaTeX formula: a или в бесконечности, если ее предел в этой точке или в бесконечности равен нулю:
$LaTeX formula: \lim_{x \to a }\alpha(x)=0$ или $LaTeX formula: \lim_{x\to \infty }\alpha(x)=0$ .

Две бесконечно малые функции $LaTeX formula: \alpha (x)$ и $LaTeX formula: \beta (x)$ называют эквивалентными бесконечно малыми при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ , если:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=1$ . (5.11)

Записывают: $LaTeX formula: \alpha (x)\sim \beta (x)$ при $LaTeX formula: x\rightarrow a$ .

Н а п р и м е р, при $LaTeX formula: x\rightarrow0$ верно, что: $LaTeX formula: \sin x\sim x$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}x\sim x$ , $LaTeX formula: \ln (1+x)\sim x$ . (5.12)

При нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них или только одну можно заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

2. Функцию LaTeX formula: y=f(x)

называют бесконечно большой в точке LaTeX formula: a

или в бесконечности, если ее передел в этой точке или в бесконечности равен бесконечности:
$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty$ или $LaTeX formula: \lim_{x \to \infty }f(x)=\infty$ .

3. Если функция $LaTeX formula: \alpha (x)$ бесконечно малая в точке или в бесконечности, то функция $LaTeX formula: \frac{1}{\alpha(x)}$ бесконечно большая в этой точке или в бесконечности.

4. Справедливы равенства:

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{k}{x}=0$ ; (5.13)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }x=\infty$ (5.14)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}=\infty$ (5.15)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.16)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.17)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=+\infty$ , если LaTeX formula: 0< a< 1

(5.18)

$LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0$ , если LaTeX formula: a> 1

(5.19)

Свойства бесконечно малых функций:

1) алгебраическая сумма бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

2) произведение бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией;

3) произведение бесконечно малой функции и постоянной величины является бесконечно малой функцией;

2) произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции является бесконечно малой функцией.

Пример 1 . Вычислим $LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}$ .

Решение . Применяя свойства 5.8, 5.6 , 5.4, 5.9 и 5.3 , получим:

$LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+6}{3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x^{2}+6)}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-2}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}+\lim_{x\rightarrow 0}6}{\lim_{x\rightarrow 0}3x-\lim_{x\rightarrow 0}2}$ $LaTeX formula: =\frac{0^{2}+6}{3\cdot 0-2}=-3$ .

Ответ: LaTeX formula: -3 .

Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката).

Квантор всеобщности обозначается $LaTeX formula: \forall$ и читается: «для всех …» или «для любого …».

Квантор существования обозначается $LaTeX formula: \exists$ и читается: «существует …» или «найдется …».

Тогда определение числовой последовательности можем записать так:
число LaTeX formula: a является пределом числовой последовательности $LaTeX formula: \left \{ x_{n} \right \}$ , если $LaTeX formula: \forall \varepsilon > 0$ $LaTeX formula: \exists N_{0}\in N$ такой, что $LaTeX formula: \forall n> N_{0}:\left | x_{n}-a \right |< 0$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_свойства_пределов