Плоскость в пространстве /qualihelpy

Плоскость в пространстве

Справочник / Студент / Аналитическая геометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

, (4.27)

где $LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C)$ – нормальный вектор этой плоскости.

Например, $LaTeX formula: \overline{n}(2;-3;6)$ – нормальный вектор плоскости LaTeX formula: 2x-3y+6z=5

2. Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0;z_0)

, принадлежащая плоскости, и нормальный вектор этой плоскости $LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C)$ , то уравнение плоскости задают в виде:

LaTeX formula: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0

. (4.28)

3. Если известны три точки LaTeX formula: M_1(x_1;y_1;z_1)

, принадлежащие плоскости, то уравнение этой плоскости можно найти по формуле:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$ . (4.29)

4. Если известно, что вектор $LaTeX formula: \overline{l}(m;n;p)$ параллелен плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: M_1(x_1;y_1;z_1)

, то уравнение этой плоскости можно найти по формуле:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1\\ m & n & p \end{vmatrix}=0$ . (4.30)

5. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:

$LaTeX formula: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ , (4.31)

где

– алгебраические величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат ( LaTeX formula: a

на оси

на

на

Пример 1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку LaTeX formula: M(-2;1;-6)

параллельно плоскости LaTeX formula: 3x+y-2z-1=0

Решение. Так как искомая плоскость параллельна плоскости LaTeX formula: 3x+y-2z-1=0

, то нормальный вектор этой плоскости $LaTeX formula: \overline{n}(3;1;-2)$ является нормалью и искомой плоскости.

Согласно формуле 4.28 запишем уравнение искомой плоскости:

Ответ:

Пример 2. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: A(-2;0;1)

Решение. Согласно формуле 4.29 получим:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} x+2 & y-0 & z-1\\ 0+2 &-3-0 & -1-1\\ -2+2 & -5-0 & 0-1 \end{vmatrix}=0$ , $LaTeX formula: \begin{vmatrix} x+2 & y & z-1\\ 2 &-3 & -2\\ 0 & -5 & -1 \end{vmatrix}=0$ ,

LaTeX formula: 3(x+2)+0-10(z-1)-0-10(x+2)+2y=0

Ответ:

Пример 3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: A(2;0;-1)

перпендикулярно плоскости LaTeX formula: x+2y+4=0

Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости LaTeX formula: x+2y+4=0

, то нормальный вектор этой плоскости $LaTeX formula: \overline{n}(1;2;0)$ является направляющим вектором $LaTeX formula: \overline{l}(1;2;0)$ искомой плоскости.

Согласно формуле 4.30 получим:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1\\ 0-2 &3-0 & -1+1\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0$ , $LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1\\ -2 &3 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0$ ,