Кривые второго порядка /qualihelpy

Кривые второго порядка

Справочник / Студент / Аналитическая геометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Общее уравнение линии второго порядка:

. (4.15)

Виды линий второго порядка

1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

В случае окружности уравнение 4.15 примет вид:

Если центр окружности находится в точке LaTeX formula: O(0;0)

, а ее радиус равен LaTeX formula: R

(рис. 4.1), то уравнение окружности имеет вид:

. (4.16)

Если центр окружности находится в точке LaTeX formula: O'(a;b)

, а ее радиус равен LaTeX formula: R

(рис. 4.2), то уравнение окружности имеет вид:

. (4.17)

Например, запишем уравнение окружности с центром в точке LaTeX formula: O'(-1;6)

и радиусом LaTeX formula: R=3

. Согласно формуле 4.17 получим: LaTeX formula: (x+1)^2+(y-6)^2=9

2. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Расстояние от точки эллипса до фокуса называют фокальным радиусом.

На рисунке 4.3 изображен эллипс: точка LaTeX formula: O

– центр эллипса; точки LaTeX formula: F_1

– его фокусы; LaTeX formula: MF_1

– фокальные радиусы; LaTeX formula: A_1A_2=2a

– большая ось эллипса; LaTeX formula: B_1B_2=2b

– малая ось эллипса; LaTeX formula: F_1F_2=2c

– расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

$LaTeX formula: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , (4.18)

где

– большая полуось; LaTeX formula: b

– меньшая полуось.

Фокусы имеют координаты

, (4.19)

где

$LaTeX formula: c=\sqrt{a^2-b^2}$ . (4.19.1)

Эксцентриситет эллипса находят по формуле:

$LaTeX formula: \varepsilon =\frac{c}{a}<1$ . (4.20)

3. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

На рисунке 4.4 изображена гипербола: точки LaTeX formula: A_1

– ее вершины; точки LaTeX formula: F_1

– ее фокусы; LaTeX formula: A_1A_2=2a

– действительная ось гиперболы; LaTeX formula: B_1B_2=2b

– мнимая ось; LaTeX formula: F_1F_2=2c

– расстояние между фокусами; прямые (1) и (2) – асимптоты.

Каноническое уравнение гиперболы:

$LaTeX formula: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , (4.21)

где

– действительная полуось; LaTeX formula: b

– мнимая полуось.

Фокусы имеют координаты LaTeX formula: F_1(-c;0)

, где

$LaTeX formula: c=\sqrt{a^2+b^2}$ . (4.22)

Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:

$LaTeX formula: \varepsilon =\frac{c}{a}>1$ . (4.23)

Уравнения асимптот гиперболы:

$LaTeX formula: y=\pm \frac{bx}{a}$ . (4.24)

4. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.

4.1. Каноническое уравнение параболы:

. (4.25)

где ось

– ось симметрии параболы; LaTeX formula: p

– расстояние от фокуса до директрисы LaTeX formula: d

(рис. 4.5).

Фокус имеет координаты:

$LaTeX formula: F\left ( \frac{p}{2};0 \right )$ . (4.25.1)

Уравнение директрисы параболы имеет вид:

$LaTeX formula: x=-\frac{p}{2}$ . (4.25.2)

4.2. Если осью симметрии параболы является ось LaTeX formula: OY

(рис.4.6), то каноническое уравнение параболы имеет вид:

. (4.26)

Фокус имеет координаты:

$LaTeX formula: F\left ( 0;\frac{p}{2} \right )$ . (4.26.1)

Уравнение директрисы LaTeX formula: d

параболы имеет вид:

$LaTeX formula: y=-\frac{p}{2}$ . (4.26.2)

Пример 1. Найдите большую и меньшую полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса $LaTeX formula: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ .

Решение. 1. С учетом 4.18, зная, что LaTeX formula: a^2=16

, а

, найдем большую и меньшую полуоси: LaTeX formula: a=4

2. По формуле 4.19.1 получим: $LaTeX formula: c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$ .

По формулам 4.19 запишем фокусы: $LaTeX formula: F_1(\sqrt{-7};0)$ и $LaTeX formula: F_2(\sqrt{7};0)$ .

3. По формуле 4.20 найдем эксцентриситет: $LaTeX formula: \varepsilon =\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Пример 2. Найдите действительную и мнимую полуоси, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы $LaTeX formula: \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ .

Решение. 1. С учетом 4.21, зная, что LaTeX formula: a^2=16

, а

, найдем действительную и мнимую полуоси: LaTeX formula: a=4

2. По формуле 4.22 получим: $LaTeX formula: c=\sqrt{16+9}=5$ .

По формулам 4.19 запишем фокусы: LaTeX formula: F_1(-5;0)

3. По формуле 4.23 найдем эксцентриситет: $LaTeX formula: \varepsilon =\frac{5}{4}$ .

4. По формуле 4.24 запишем уравнения асимптот: $LaTeX formula: y=\pm \frac{3}{4}x$ .

Пример 3. Найдите фокус и директрису параболы LaTeX formula: y^2=x

Решение. С учетом 4.25, так как LaTeX formula: 2p=1

, то

По формуле 4.25.1 запишем фокус: LaTeX formula: F(0,25;0)

По формуле 4.25.2 запишем уравнение директрисы: LaTeX formula: x=-0,25

Пример 4. Найдите фокус и директрису параболы LaTeX formula: x^2=8y

Решение. С учетом 4.26, так как LaTeX formula: 2p=8

, то

По формуле 4.26.1 запишем фокус: LaTeX formula: F(0;2)

По формуле 4.26.1 запишем уравнение директрисы: LaTeX formula: y=-2

Если у эллипса 4.18 LaTeX formula: a<b

, то $LaTeX formula: c=\sqrt{b^2-a^2}$ , а $LaTeX formula: \varepsilon =\frac{c}{b}<1$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Кривые второго порядка