Задание прямой на плоскости /qualihelpy

Задание прямой на плоскости

Справочник / Студент / Аналитическая геометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Уравнения прямой

1. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

, (4.1)

где $LaTeX formula: A^2+B^2\neq0$ , а $LaTeX formula: \overline{n}(A;B)$ – нормальный вектор этой прямой.

Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0)

, принадлежащая прямой, и нормальный вектор прямой $LaTeX formula: \overline{n}(A;B)$ , то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

. (4.2)

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом LaTeX formula: k

имеет вид:

. (4.3)

Угловой коэффициент LaTeX formula: k

прямой

находят по формуле:

$LaTeX formula: k=tg\alpha$ , где $LaTeX formula: \alpha$ – угол наклона прямой к положительному направлению оси LaTeX formula: Ox

При этом:

1) если

, то функция монотонно возрастает;

2) если

, то функция монотонно убывает;

3) если

, то функция примет вид LaTeX formula: y=b

(семейство прямых, параллельных оси LaTeX formula: Ox

);

4) если

, то функция примет вид LaTeX formula: y=kx

. Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью.

Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0)

, принадлежащая прямой, и угловой коэффициент LaTeX formula: k

прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

. (4.4)

3. Каноническое уравнение прямой имеет вид:

$LaTeX formula: \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_o}{n}$ , (4.5)

где

– точка, принадлежащая этой прямой, а $LaTeX formula: \overline{l}(m,n)$ – направляющий вектор прямой.

Если известны координаты точек LaTeX formula: A(x_1;y_1)

, принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле:

$LaTeX formula: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ . (4.6)

4. Уравнение прямой в отрезках имеет вид:

$LaTeX formula: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ , (4.7)

где

– алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат ( LaTeX formula: a

на оси

Например, если LaTeX formula: a=-7

, а

, то $LaTeX formula: \frac{x}{-7}+\frac{y}{17}=1$ .

5. Чтобы записать параметрические уравнения прямой, можно воспользоваться равенством 4.5 или 4.6. Например, полагая $LaTeX formula: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=t$ , получим:

(4.8.1) ,

. (4.8.2)

Взаимное расположение прямых

Рассмотрим прямые LaTeX formula: y=k_1x+b_1

1. Прямые пересекаются, если

$LaTeX formula: k_1\neq k_2$ . (4.9)

Например, прямые LaTeX formula: y=-2x+4

пересекаются, так как LaTeX formula: k_1=-2

, а

и $LaTeX formula: k_1\neq k_2$ .

Угол между прямыми находят по формуле:

$LaTeX formula: tg\alpha=\left | \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1} \right |$ . (4.10)

2. Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:

. (4.11)

Например, прямые LaTeX formula: y=-2x+4

перпендикулярны, так как LaTeX formula: k_1=-2

, а

и $LaTeX formula: -2 \cdot 0,5=-1$ .

3. Прямые параллельны, если

и $LaTeX formula: b_1\neq b_2$ . (4.12)

Например, прямые LaTeX formula: y=5x-1

параллельны, так как LaTeX formula: k_1=k_2=5

и $LaTeX formula: b_1\neq b_2$ .

4. Прямые совпадают, если:

. (4.13)

Например, прямые LaTeX formula: 4x-8y=32

совпадают.

Расстояние от точки LaTeX formula: M(x_0;y_0)

до прямой

находят по формуле:

$LaTeX formula: d=\frac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}}$ . (4. 14)

Пример 1. Запишите в общем виде уравнение прямой, если известно, что ей принадлежат точки LaTeX formula: A(2;-4)

Решение. Уравнение данной прямой найдем по формуле 4.6:

$LaTeX formula: \frac{x-2}{-5-2}=\frac{y+4}{3+4}$ , $LaTeX formula: \frac{x-2}{-7}=\frac{y+4}{7}$ , LaTeX formula: x-2=-y-4

Ответ:

Пример 2. Запишите уравнение прямой, если известно, что эта прямая проходит через точку LaTeX formula: K(4;-3)

и параллельна прямой LaTeX formula: 6x-3y+4=0

Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде 4.3:

, $LaTeX formula: y=2x+\frac{4}{3}$ .

Так как искомая прямая LaTeX formula: y=kx+b

параллельна данной прямой, то выполняется равенство 4.12, следовательно, LaTeX formula: k=2

Согласно формуле 4.4 запишем: LaTeX formula: y=-3+2(x-4)

Ответ:

Пример 3. Запишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку LaTeX formula: K(4;-3)

перпендикулярно прямой LaTeX formula: 2x-5y+1=0

Решение. 1. Так как искомая прямая перпендикулярна прямой LaTeX formula: 2x-5y+1=0

, то нормальный вектор прямой 4.1 имеет вид: $LaTeX formula: \overline{n}(2;-5)$ . Этот вектор будет направляющим вектором искомой прямой: $LaTeX formula: \overline{l}(2;-5)$ .

2. Согласно формуле 4.5 запишем уравнение искомой прямой:

$LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=\frac{y+3}{-5}$ .

3. Найдем параметрические уравнения 4.8.1 и 4.8.2 этой прямой.

Полагая $LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=\frac{y+3}{-5}=t$ , получим $LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=t$ и $LaTeX formula: \frac{y+3}{-5}=t$ .

Ответ:

, а

Пример 4. Найдите расстояние от точки LaTeX formula: M(1;-2)

до прямой

Решение. Согласно формуле 4.14 получим:

$LaTeX formula: d=\frac{\left | 2+2-5 \right |}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: 0,2 \sqrt5$ .

Координаты направляющего вектора прямой 4.5 определяются с точностью до постоянного множителя $LaTeX formula: c\neq 0$ : $LaTeX formula: \overline{l}(cm,cn)$ .

Например, $LaTeX formula: \overline{l_1}(3;-4)$ и $LaTeX formula: \overline{l_2}(-3;4)$ , а также $LaTeX formula: \overline{l_3}(6;-8)$ – направляющие векторы прямой $LaTeX formula: \frac{x-5}{3}=\frac{y}{-4}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_общее_уравнение_прямой m_2_уравнение_с_угловым_коэффициентом m_3_каноническое_уравнение_прямой m_4_угол_между_прямыми