Линейная зависимость векторов /qualihelpy

Линейная зависимость векторов

Справочник / Студент / Векторы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Составим линейную комбинацию LaTeX formula: n

-мерных векторов $LaTeX formula: \overline{a}_{1},\overline{a}_{2},...,\overline{a}_{m}:$

$LaTeX formula: \alpha _{1}\overline{a}_{1}+\alpha _{2}\overline{a}_{2}+...+\alpha _{m}\overline{a}_{m}=\overline{b}.$

Если $LaTeX formula: \overline{b}=\overline{0}$ и $LaTeX formula: \sum_{i=1}^{m}a_{i}^{2}\neq 0$ , то векторы линейно зависимы и не образуют базис. Если $LaTeX formula: \overline{b}\neq \overline{0}$ и $LaTeX formula: \sum_{i=1}^{m}\alpha _{i}^{2}\neq 0 ,$ то векторы линейно независимы и образуют базис.

Рассмотрим трехмерное линейное векторное пространство.

Если векторы $LaTeX formula: \bar{a}(\alpha _{1};\alpha _{2};\alpha _{3}),\bar{b}(b_{1};b_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3})$ образуют базис, то определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2}& c_{2}\\ a_{3} & b_{3}& c_{3} \end{vmatrix}\neq 0$ . (3.20)

Любой вектор $LaTeX formula: \bar{d}(d_{1};d_{2};d_{3})$ можно разложить по этому базису:

$LaTeX formula: \bar{d}=a_{1}\bar{a}+a_{2}\bar{b}+a_{3}\bar{c},$ (3.21)

где $LaTeX formula: \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ – коэффициенты разложения и $LaTeX formula: \alpha_{1}^2+\alpha_{2}^2+\alpha_{3}^2\neq 0.$

Коэффициенты разложения находят, решая систему уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a_{1} \alpha _{1} +& b_{1}\alpha _{2} &+c_{1}\alpha _{3} = d_{1} , \\ a_{2}\alpha _{1}+ & b_{2}\alpha _{2} & +c_{2}\alpha _{3} =d_{2},\\ a_{3} \alpha _{1} +& b_{3}\alpha _{2} & +c_{3}\alpha _{3} =d_{3}. \end{matrix}\right.$ (3.22)

Пример 1. Если векторы $LaTeX formula: \bar{a}(0;-3;5),\bar{b}(0;0;1)$ и $LaTeX formula: \bar{c}(-1;5;1)$ образуют базис, то разложите вектор $LaTeX formula: \bar{b}(0;0;1)$ по этому базису .

Решение. 1. Убедимся в том, что векторы $LaTeX formula: \bar{a},\bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ образуют базис.

Составим определитель 3.20 из координат этих векторов (по столбцам) и найдем его значение:

$LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} 0& 0 &-1 \\ -3 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3\neq 0.$

2. Решим систему уравнений 3.22:

$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lcl} -a_{3} =2,\\ -3a_{1}+5a_{3}=-1, & \\ 5a_{1} +a_{2}+a_{3}=4; \end{array} \right. \left\{\begin{array}{lcl} a_{3} =-2,\\ a_{1}=-3, & \\ 5a_{1} +a_{2}=6; \end{array} \right. \left\{\begin{array}{lcl} a_{3} =-2,\\ a_{1}=-3, & \\ a_{2}=21. \end{array} \right.$

Ответ: $LaTeX formula: \bar{d} = -3\bar{a}+21\bar{b}-2\bar{c}.$

Определитель основной матрицы системы 3.22 составляется из координат векторов по столбцам.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания