Действия над векторами /qualihelpy

Действия над векторами

Справочник / Студент / Векторы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

1. Линейные действия над векторами

К линейным действиям с векторами относят сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число.

1.1. Сложение векторов с заданными координатами

Чтобы сложить (вычесть) векторы $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}),$ необходимо сложить (вычесть) их соответствующие координаты:

$LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}) + \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})= (a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3}).$ (3.8)

1.2. Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ на число LaTeX formula: k

, необходимо каждую координату вектора $LaTeX formula: \bar{a}$ умножить на это число:

$LaTeX formula: \bar{k}\cdot (a_{1};a_{2};a_{3})=(ka_{1};ka_{2};ka_{3}).$ (3.9)

Сочетая действия сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число, получим линейную комбинацию векторов.

Аналогично выполняются линейные действия над LaTeX formula: n

-мерными векторами.

2. Умножение векторов

2.1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

$LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=\left |\bar{a} \right |\cdot \left |\bar{b} \right |\cdot cos \alpha .$ (3.10)

Угол между векторами $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ находят по формуле (рис. 3.6):

$LaTeX formula: cos \alpha = \frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left |\bar{a} \right |\cdot \left |\bar{b} \right |}$ . (3.11)

Векторы $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ перпендикулярны, если угол между ними равен $LaTeX formula: 90^{\circ}$ . Поскольку $LaTeX formula: cos 90^{\circ} =0,$ то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Проекцией вектора  на вектор    называют длину отрезка, концами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора   на вектор   .

Записывают: пр.  На рисунке 3.7  пр

Проекцию вектора  на вектор  находят по формуле:

пр  (3.12) 
где  – угол между векторами  и .

Свойства скалярного произведения:

1) $LaTeX formula: \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{a};$

2) $LaTeX formula: \alpha \bar{a}\cdot \bar{b}=\alpha (\bar{a}\cdot \bar{b}),$ где $LaTeX formula: \alpha \in R;$

3) $LaTeX formula: \left (\bar{a}+\bar{b} \right )\cdot \bar{c}=\bar{a}\cdot \bar{c}+\bar{b}\cdot \bar{c};$

4) $LaTeX formula: \bar{a}^{2}=\left |\bar{a} \right |^{2} .$

Скалярное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ можно найти и по формуле:

$LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.$ (3.13)

Аналогично в LaTeX formula: n

-мерном пространстве:

$LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}.$ (3.13.1)

2.2. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ называют третий вектор $LaTeX formula: \bar{d}$ , который перпендикулярен как вектору $LaTeX formula: \bar{a}$ , так и вектору $LaTeX formula: \bar{b}$ (рис. 3.8).

Векторное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: \bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}$ , (3.14)

где векторы $LaTeX formula: \bar{i} , \bar{j}$ и $LaTeX formula: \bar{k}$ – орты.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ , находят по формуле (рис. 3.9):

$LaTeX formula: S=\left |\bar{a}\times \bar{b} \right |.$ (3.15)

Площадь треугольника, построенного на этих же векторах, находят по формуле (рис. 3.10):

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\left |\bar{a}\times \bar{b} \right |.$ (3.16)

2.3. Смешанное произведение векторов

Рассмотрим векторы $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ , $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3}).$

Смешанным произведением этих векторов называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора $LaTeX formula: \bar{c}$ на векторное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}.$

Смешанное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: \left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=\begin{vmatrix} {c}_{1} & {c}_{2} & {c}_{3}\\ {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3}\\ {b}_{1}& {b}_{2} & {b}_{3} \end{vmatrix}$ . (3.17)

Объем параллелепипеда, построенного на векторах $LaTeX formula: \bar{a}$ , $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ , находят по формуле:

$LaTeX formula: V= \left |\left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right ) \right |.$ (3.18)

Объем пирамиды, построенной на векторах $LaTeX formula: \bar{a}$ , $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ , находят по формуле (рис. 3.11):

$LaTeX formula: V= \frac{1}{6}\left |\left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right ) \right |.$ (3.19)

Пример 1. Найдите вектор $LaTeX formula: \bar{c}=2\bar{a}-3\bar{b},$ если известно, что $LaTeX formula: \bar{a}=(-3;4;-1)$ и $LaTeX formula: \bar{b}=(-1;0;9).$

Решение. Согласно формулам 3.8 и 3.9 получим:

$LaTeX formula: \bar{c}=2(-3;4;-1)-3(-1;0;9)=(-6;8;-2)+(3;0;-9)=$ LaTeX formula: (-3;8;-11).

Ответ: $LaTeX formula: \bar{c}=(-3;8;-11).$

Пример 2. Найдите скалярное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{b}$ , если известно, что $LaTeX formula: \left | \bar{a} \right |=3$ , $LaTeX formula: \left | \bar{b} \right |=6$ и $LaTeX formula: \alpha =45^{\circ}$ .

Решение. Согласно формуле 3.10 получим:

$LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=3\cdot 6\cdot cos45^{\circ}=18\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.$

Ответ: $LaTeX formula: 9\sqrt{2}.$

Пример 3. Найдите скалярное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{b}=(-2;3;0)$ и $LaTeX formula: \bar{c}=(1;3;-5).$

Решение. Согласно формуле 3.13 запишем:

$LaTeX formula: \bar{b}\cdot \bar{c}=-2\cdot 1+3\cdot 3+0\cdot (-5)=7.$

Ответ:

Пример 4. Найдите угол между векторами $LaTeX formula: \bar{a}=(0;3)$ и $LaTeX formula: \bar{b}=(-5;1).$

Решение. Согласно формуле 3.11 получим:

$LaTeX formula: cos \alpha =\frac{0\cdot (-5)+3\cdot 1 }{\sqrt{0^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{(-5)^{2}+1^{2}}}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}$ LaTeX formula: .

Ответ: $LaTeX formula: \alpha =arccos \frac{1}{\sqrt{26}} .$

Пример 5. Найдите векторное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}=(0;-3;2)$ и $LaTeX formula: \bar{b}=(-1;1;2).$

Решение. Согласно формуле 3.14 запишем:

$LaTeX formula: \bar{d}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0& -3 &2 \\ -1& 1 & 2 \end{vmatrix}=\bar{i}\begin{vmatrix} -3 & 2\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-\bar{j}\begin{vmatrix} 0 & 2\\ -1 & 2 \end{vmatrix}+\bar{k}\begin{vmatrix} 0 & -3\\ -1 & 1 \end{vmatrix}=$ $LaTeX formula: -8\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}.$

Ответ: $LaTeX formula: \bar{d}(-8;-2;-3).$

Пример 6. Найдите смешанное произведение векторов $LaTeX formula: \bar{a}=(0;-3;5)$ , $LaTeX formula: \bar{b}=(0;0;7)$ и $LaTeX formula: \bar{c}=(-1;5;1)$ .

Решение. Согласно формуле 3.17 запишем:

$LaTeX formula: \left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=$ $LaTeX formula: \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1\\ 0 & -3& 5\\ 0 &0 & 7 \end{vmatrix}=-1\cdot (-3)\cdot 7=21.$

Ответ:

1. Множество всех LaTeX formula: n

-мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительным LaTeX formula: n

-мерным векторным арифметическим пространством $LaTeX formula: R^{n}$ .

2. Пространство $LaTeX formula: R^{n}$ со скалярным произведением (3.13.1) называют евклидовым.

Сложение векторов

Умножение вектора на число

Скалярное произведение

Векторное произведение

Смешанное произведение векторов

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Действия над векторами