Исследование систем уравнений /qualihelpy

Исследование систем уравнений

Справочник / Студент / Системы линейных алгебраических уравнений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Исследовать систему линейных уравнений – значит, установить имеет ли эта система решения, а если имеет, то определить, сколько их.

При этом можно руководствоваться следующими правилами:

1. Если ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы, то система не совместная (не имеет решений).

2. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, то система совместная определенная (имеет единственной решение).

3. Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, но меньше числа переменных, то система совместная неопределенная (имеет бесконечное множество решений).

Пример 1. Исследуйте систему линейных уравнений

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! x-y+3z=2,\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!-2x+5y=0,\\ 2x-2y+6z=4.\\ \end{matrix}\right.$

Решение.

Запишем основную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

$LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 1& -1& 3& \\ \! \! \! \! -2& \; \; \; 5& 0& \\ 2& -2& 6& \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1& \! \! \! -1& 3& \\ 0& 3& 6& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1& \! \! \! \! -1& 3& \\ 0& 1& 2& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}$ .

Поскольку минор третьего порядка этой матрицы равен нулю, а среди ее миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, то ранг матрицы равен 2.

2. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду:

$LaTeX formula: \widetilde{A}=\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ \! \! \! \! -2&\; \; \; 5 \\ 2&-2 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 0& \\ \; \; \; 6& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 0\\ 4\\ \end{matrix} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ 0&\; \; \; 3 \\ 1&-1 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 6& \\ \; \; \; 3& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 4\\ 2\\ \end{matrix} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ 0& 3 \\ 0&0 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 6& \\ \; \; \; 0& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 4\\ 0\\ \end{matrix} \end{pmatrix}$ .

Поскольку все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, а среди ее миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, то ранг матрицы равен 2.

3. Так как $LaTeX formula: r_{A}=r_{\widetilde{A}}=2$ , то система совместная. А так как система содержит три переменные и $LaTeX formula: 3>r_{A}$ , то система неопределенная.

Покажем, как можно найти решение неопределенной системы уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x-y+3z=2, & \\ \; \; \; 3y+6z=4.& \end{matrix}\right.$

Полагая

, где $LaTeX formula: a\epsilon R$ , получим: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x-y+3a=2,& \\ \; \; \; \; 3y+6a=4.& \end{matrix}\right.$ Тогда $LaTeX formula: y=\frac{4}{3}-2a$ , а $LaTeX formula: x=\frac{10}{3}-5a$ .

Ответ: $LaTeX formula: x=\frac{10}{3}-5a$ , $LaTeX formula: y=\frac{4}{3}-2a$ , LaTeX formula: z=a

, где $LaTeX formula: a\epsilon R$ .

Исследование СЛАУ

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания М_5_Исследование_СЛАУ

Исследование систем уравнений