Собственные числа и собственные векторы /qualihelpy

Собственные числа и собственные векторы

Справочник / Студент / Матрицы и определители /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Число $LaTeX formula: \lambda$ называют собственным значением (собственным числом) матрицы $LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix}$ , если существует ненулевой вектор $LaTeX formula: \bar{x}\in R^n$ , для которого выполняется равенство $LaTeX formula: A\bar{x}=\lambda \bar{x}$ . (1.18)

Вектор $LaTeX formula: \bar{x}$ называют собственным вектором матрицы LaTeX formula: A

, соответствующим данному собственному значению $LaTeX formula: \lambda$ .

Собственные числа $LaTeX formula: \lambda_{1}$ , $LaTeX formula: \lambda_{2}$ , $LaTeX formula: \lambda_{3}$ , … , $LaTeX formula: \lambda_{n}$ матрицы (1.2) находят, решая уравнение $LaTeX formula: \left | A-\lambda E \right |=0$ или

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix} =0$ . (1.19)

Собственный вектор $LaTeX formula: \bar{x_i}=(x_{1i};x_{2i};...;x_{ni})^T$ , соответствующий собственному значению $LaTeX formula: \lambda_i$ , находят, решая однородную систему линейных алгебраических уравнений
$LaTeX formula: (A-\lambda_i E)\bar{x_i}=0$ . (1.20)

Пример 1. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы $LaTeX formula: \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ .

Решение. Согласно формуле 1.19 запишем:
$LaTeX formula: \begin{vmatrix} 5-\lambda & 2\\ 3 & -\lambda \end{vmatrix}=0$ , откуда $LaTeX formula: -\lambda(5-\lambda)-6=0$ , $LaTeX formula: \lambda^2-5\lambda-6=0$ , $LaTeX formula: \lambda_{1}=-1$ , $LaTeX formula: \lambda_{2}=6$ .

Найдем собственный вектор $LaTeX formula: \bar{x_1}(x_1;x_2)$ , соответствующий собственному числу $LaTeX formula: \lambda_1=-1$ .
Для этого согласно формуле 1.20 составим и решим систему уравнений:

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} 6 & 2\\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=0$ , $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 6x_1+2x_2=0,\\ 3x_1+x_2=0 ; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 3x_1+x_2=0,\\ 3x_1+x_2=0. \end{matrix}\right.$

Пусть

(

– любое отличное от нуля действительное число), тогда LaTeX formula: x_2=-3c

.
Полагая, например, LaTeX formula: c=1

, запишем: $LaTeX formula: \bar{x_1}(1;-3)$ .

Аналогично найдем собственный вектор $LaTeX formula: \bar{x_2}(x_1;x_2)$ , соответствующий собственному числу $LaTeX formula: \lambda_2=6$ :

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=0$ , $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -x_1+2x_2=0,\\ 3x_1-6x_2=0 ; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_1-2x_2=0,\\ x_1-2x_2=0. \end{matrix}\right.$

Пусть

, тогда

. Полагая, например, LaTeX formula: c=1

, запишем: $LaTeX formula: \bar{x_2}(2;1)$ .

Ответ: $LaTeX formula: \lambda_{1}=-1$ , $LaTeX formula: \lambda_{2}=6$ , $LaTeX formula: \bar{x_1}(1;-3)$ , $LaTeX formula: \bar{x_2}(2;1)$ .

Каждому собственному числу матрицы может соответствовать множество коллинеарных собственных векторов.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания