является пределом числовой последовательности 
, если для любого сколь угодно малого 
найдется такой номер 
, что при всех 
выполняется неравенство 
. 
.Геометрический смысл предела: число является пределом последовательности , если в любой его 
-окрестности содержатся почти все члены последовательности, а вне этой окрестности находится лишь конечное число ее членов (рис. 5.4).
Сходимость последовательностей
Сходящейся называется числовая последовательность, предел которой существует.
Расходящейся называется числовая последовательность, предел которой равен бесконечности или не существует.
Н а п р и м е р:
1) числовая последовательность 
сходится и 
;
2) числовая последовательность 
расходится, так как при ее предел не существует.
Ограниченность последовательностей
Числовая последовательность ограничена, если 
, то 
такое, что 
выполняется 
.
Числовая последовательность не ограничена, если 
такое, что выполняется 
.
Н а п р и м е р: числовая последовательность 
ограничена снизу.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Бесконечно малые и большие последовательности
Числовая последовательность бесконечно малая, если 
такой, что 
выполняется 
.
Числовая последовательность бесконечно большая, если 
такой, что 
выполняется 
.
Н а п р и м е р, последовательность
бесконечно малая, а последовательность 
бесконечно большая при 
.
Квантор – общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо утверждения, высказывания (предиката).
Квантор всеобщности обозначается 
и читается: «для всех …» или «для любого …».
Квантор существования обозначается 
и читается: «существует …» или «найдется …».
Тогда определение числовой последовательности можем записать так:
число является пределом числовой последовательности , если такой, что 
.