Приложения частных производных /qualihelpy

Приложения частных производных

Справочник / Студент / Функция многих переменных /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Производная по направлению

Производную функции LaTeX formula: u=u(x;y;z)

по направлению вектора $LaTeX formula: \bar{M_{0}M}=\bar{l}$ , где $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ , $LaTeX formula: M(x_{0}+\Delta x; y_{0}+ \Delta y; z_{0}+\Delta z)$ , находят по формуле:

$LaTeX formula: u'_{l}=u'_{x}cos \alpha +u'_{y}cos \beta +u'_{z}cos \gamma$ , (4.1)

где $LaTeX formula: \Delta l=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$ , (4.2)

$LaTeX formula: cos\alpha =\frac{\Delta x}{\Delta l}$ , $LaTeX formula: cos\beta =\frac{\Delta y}{\Delta l}$ , $LaTeX formula: cos\gamma =\frac{\Delta z}{\Delta l}$ . (4.3)

Градиент функции

Градиентом функции называют вектор, координаты которого равны частным производным этой функции в указанной точке.

Градиент функции LaTeX formula: u=u(x;y;z) находят по формуле:

$LaTeX formula: grad u=u'_{x}\bar{i}+u'_{y}\bar{j}+u'_{z}\bar{k}$ . (4.4)

Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке LaTeX formula: M называют плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к кривым, проведенным на данной поверхности через точку .

Уравнение касательной плоскости к поверхности LaTeX formula: F(x;y;z)=0 в точке $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ находят по формуле:

$LaTeX formula: F'_{x}|_{M_{0}}(x-x_{0})+F'_{y}|_{M_{0}}(y-y_{0})+F'_{z}|_{M_{0}}(z-z_{0})=0$ . (4.5)

Уравнение касательной плоскости к поверхности LaTeX formula: z=f(x;y) в точке $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ находят по формуле:

$LaTeX formula: z=z_{0}+f'_{x}(M_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(M_{0})(y-y_{0})$ . (4.6)

Нормаль к поверхности

Нормалью к поверхности называют перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Уравнение нормали к поверхности LaTeX formula: F(x;y;z)=0 в точке $LaTeX formula: $$M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$$$ находят по формуле:

$LaTeX formula: \frac{x-x_{0}}{F'_{x}(M_{0})}=\frac{y-y_{0}}{F'_{y}(M_{0})}=\frac{z-z_{0}}{F'_{z}(M_{0})}$ . (4.7)

Пример 1. Найдите производную функции $LaTeX formula: u=5x-y^{2}+z^{3}$ по направлению от точки LaTeX formula: M(-1;3;-5) к точке LaTeX formula: N(1;0;-5) .

Решение.

Найдем частные производные данной функции:

1) $LaTeX formula: u'_{x}=(5x)'_{x}-(3y^{2})'_x+(z^{3})'_{x}=5$ ;

2) $LaTeX formula: u'_{y}=(5x)'_{y}-(3y^{2})'_y+(z^{3})'_{y}=6y$ ;

3) $LaTeX formula: u'_{z}=(5x)'_{z}-(3y^{2})'_z+(z^{3})'_{z}=3z^2$ .

Найдем координаты вектора $LaTeX formula: \bar{l}$ :

$LaTeX formula: \Delta x=1+1=2$ , $LaTeX formula: \Delta y=0-3=-3$ , $LaTeX formula: \Delta z=-5+5=0$ .

По формуле (2) найдем длину вектора $LaTeX formula: \bar{l}$ :

$LaTeX formula: \Delta l=\sqrt{4+9+0}= \sqrt{13}$ .

По формулам (3) получим:

$LaTeX formula: cos\alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}$ , $LaTeX formula: cos\beta =\frac{-3}{\sqrt{13}}$ , $LaTeX formula: cos\gamma =\frac{0}{\sqrt{13}}=0$ .

По формуле (1) найдем производную по направлению:

$LaTeX formula: u'_{l}=\frac{10}{\sqrt{13}}-\frac{18y}{\sqrt{13}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: u'_{l}=\frac{10}{\sqrt{13}}-\frac{18y}{\sqrt{13}}$ .

Пример 2. Найдите градиент функции $LaTeX formula: u=3xz^{2}+4y$ в точке LaTeX formula: M(1;-2;4) .

Решение.

1. Найдем частные производные данной функции:

$LaTeX formula: u'_{x}=(3xz^{2})'_{x}+(4y)'_{x}=3z^2$ ;

$LaTeX formula: u'_{y}=(3xz^{2})'_{y}+(4y)'_{y}=4$ ;

$LaTeX formula: u'_{z}=(3xz^{2})'_{z}+(4y)'_{z}=6xz$ .

2. Найдем значения частных производных в точке LaTeX formula: M(1;-2;4) :

$LaTeX formula: u'_{x}|_{M}=3\cdot 4^2=48$ ;

$LaTeX formula: u'_{y}|_{M}=4$ ;

$LaTeX formula: u'_{z}|_{M}=6\cdot 1\cdot 4=24$ .

3. По формуле (4.4) найдем значение градиента в точке LaTeX formula: M(1;-2;4) :

$LaTeX formula: gradu|_{M}=48\bar{i}+4\bar{j}+24\bar{k}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \bar{u}(48; 4; 24)$ .

Пример 3. Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности $LaTeX formula: z=\frac {x+10}{y}$ в точке LaTeX formula: M(-2;2;4) .

Решение.

Найдем частные производные функции $LaTeX formula: z=\frac {x+10}{y}$ :

$LaTeX formula: z'_{x}=\frac{1}{y}\cdot (x+10)'_x=\frac{1}{y}$ ; $LaTeX formula: z'_{y}=(x+10)\cdot \frac{-1}{y^2}=-\frac{x+10}{y^2}$ .

Найдем значения частных производных в точке LaTeX formula: M(-2;2;4) :

$LaTeX formula: z'_{x}|_{M}=0,5$ ; $LaTeX formula: z'_{y}|_{M}=-0,5$ .

По формуле (4.6) запишем уравнение касательной плоскости:

LaTeX formula: z=4+0,5(x+2)-0,5(y-2) ,

LaTeX formula: z=0,5x-0,5y+6 .

Ответ: LaTeX formula: z=0,5x-0,5y+6 .

Пример 4. Найдите уравнение нормали к поверхности $LaTeX formula: z=\sqrt{10x+6y}$ в точке LaTeX formula: M(1;-1;2) .

Решение.

1. Запишем поверхность в виде $LaTeX formula: \sqrt{10x+6y}-z=0$ .

2. Найдем частные производные функции $LaTeX formula: F= \sqrt{10x+6y}-z$ :

1) $LaTeX formula: F'_{x}=\frac {10}{2\sqrt{10x+6y}}$ ;

2) $LaTeX formula: F'_{y}=\frac {6}{2\sqrt{10x+6y}}$ ;

3) $LaTeX formula: F'_{z}=-1$ .

3. Найдем значения частных производных в точке LaTeX formula: M(1;-1;2) :

$LaTeX formula: F'_{x}|_{M}=\frac{5}{2}$ ; $LaTeX formula: F'_{y}|_{M}=\frac{3}{2}$ ; $LaTeX formula: F'_{z}|_{M}=-1$ .

4. По формуле (4.7) запишем уравнение нормали:

$LaTeX formula: \frac{x-1}{2,5}=\frac{y+1}{1,5}=\frac{z}{-1}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{x-1}{2,5}=\frac{y+1}{1,5}=\frac{z}{-1}$ .

1. Производная по направлению зависит от направления вектора $LaTeX formula: \bar{l}$ , но не зависит от его длины.

2. Градиент функции показывает направление ее наискорейшего изменения.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания