Двумерные случайные величины /qualihelpy

Двумерные случайные величины

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Упорядоченная пара LaTeX formula: (X;Y)

LaTeX formula: (X;Y)

случайных величин LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

называется двумерной случайной величиной (или системой случайных величин).

Закон распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y)

LaTeX formula: (X;Y)

задан, если каждой паре значений LaTeX formula: x

LaTeX formula: x

и

LaTeX formula: y

поставлена в соответствие вероятность и сумма всех вероятностей равна LaTeX formula: 1

LaTeX formula: 1

.

Если случайная величина дискретная, то закон ее распределения может быть записан таблично:

Функция распределения

Функцией распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y)

LaTeX formula: (X;Y)

называют функцию вида

LaTeX formula: F(x;y)=P(X<x, Y<y)

. (10.32)

Геометрически это означает, что мы находим вероятность того, что случайная точка LaTeX formula: (X;Y)

LaTeX formula: (X;Y)

попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке LaTeX formula: (x;y)

LaTeX formula: (x;y)

, так что точка LaTeX formula: (X;Y)

LaTeX formula: (X;Y)

будет расположена ниже и левее точки LaTeX formula: (x;y)

LaTeX formula: (x;y)

(рис. 10.4).

Числовые характеристики

1. Математические ожидания дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам:

$LaTeX formula: M(X)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}x_ip_{ij}$ , (10.33)

$LaTeX formula: M(Y)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}y_jp_{ij}$ . (10.33.1)

2. Дисперсии дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам:

LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X)

, (10.34)

LaTeX formula: D(Y)=M(Y^2)-M^2(Y)

. (10.34.1)

Ковариация

Ковариацией двух случайных величин LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий:

LaTeX formula: cov(X;Y)=M((X-M(X))(Y-M(Y)))

. (10.35)

1. Ковариацию LaTeX formula: CBX

LaTeX formula: CBX

и

LaTeX formula: CBY

можно найти по формуле:

LaTeX formula: cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

. (10.36)

2. Случайные величины LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

независимые, если

LaTeX formula: P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)

. (10.37)

3. Случайные величины X и Y зависимые, если

LaTeX formula: cov(X;Y)=0

. (10.38)

Корреляция

Коэффициентом корреляции двух случайных величин LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

называют число, которое характеризует степень зависимости LaTeX formula: CBX

LaTeX formula: CBX

и

LaTeX formula: CBY

и находят по формуле:

$LaTeX formula: R_{XY}=\frac{M(XY)-M(X)M(Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}$ . (10.39)

Свойства коэффициента корреляции

1. $LaTeX formula: \left | R_{XY} \right |\leq 1$ .

2. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

независимые, то LaTeX formula: R(X,Y)=0

LaTeX formula: R(X,Y)=0

.

3. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

связаны линейной зависимостью LaTeX formula: Y=kX+b

LaTeX formula: Y=kX+b

, то $LaTeX formula: R_{XY}=1$ или $LaTeX formula: R_{XY}=-1$ .

Пример. Распределение системы случайных величин LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

и

LaTeX formula: Y

представлено в таблице:

Найдите ковариацию.

Решение. 1. По формулам 10.33 и 10.33.1 найдем математические ожидания:

$LaTeX formula: M(X)=-1\cdot 0,4+\cdot 0,3+1\cdot 0,3=-0,1$ ;
$LaTeX formula: M(Y)=1\cdot 0,5+2\cdot 0,5=1,5$ .

2. Найдем

LaTeX formula: M(XY)

, перемножая соответствующие значения LaTeX formula: X

LaTeX formula: X

,

LaTeX formula: Y

,

LaTeX formula: p

и складывая полученные произведения:
$LaTeX formula: M(XY)=-1\cdot 1\cdot 0,3-1\cdot 2\cdot 0,1+0,1\cdot 0,2+0,2\cdot 0,1+1\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 0,3=$ LaTeX formula: =0,1

LaTeX formula: =0,1

.

3. По формуле 10.36 найдем ковариацию:
$LaTeX formula: cov(X,Y)=0,1+0,1\cdot 1,5=0,25$ .

Ответ:

LaTeX formula: 0,25

.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания