Непрерывные случайные величины /qualihelpy

Непрерывные случайные величины

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Случайная величина – это величина, значения которой зависят от случая.

Случайная величина обозначается буквами LaTeX formula: X

и т. д.

Непрерывная LaTeX formula: CBX

принимает все значения из заданного промежутка.

Функция распределения

Теоретическая функция распределения случайной величины LaTeX formula: X

задается формулой:

, (10.17)

где

– вероятность того, что LaTeX formula: CBX

принимает значение, меньшее LaTeX formula: x

Свойства функции распределения

1. $LaTeX formula: 0 \leq F(x) \leq 1$ .

2. Функция распределения неубывающая.

3. Функция распределения непрерывна слева.

4. $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)=0$ , $LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)=1$ .

Н а п р и м е р, на рисунках 10.1 и 10.2 изображены графики функций распределения некоторых непрерывных случайных величин.

Плотность распределения

Плотностью распределения непрерывной случайной величины LaTeX formula: X

в точке

называют функцию

$LaTeX formula: p(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P(x\leq X<x+\Delta x)}{\Delta x}$ . (10.19)

Случайная величина LaTeX formula: X

называется непрерывной, если существует неотрицательная функция такая, что

$LaTeX formula: F(x)=\int_{-\infty }^{x}p(u)du$ . (10.20)

Свойства плотности распределения

1. $LaTeX formula: p(x)\geq 0$ .

. (10.21)

3. $LaTeX formula: \int_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx=1$ . (10.22)

Вероятность того, что LaTeX formula: CBX

примет значение из промежутка $LaTeX formula: [\alpha ;\beta )$ находят по формулам:
1) $LaTeX formula: P(\alpha \leq X<\beta )=F(\beta )-F(\alpha )$ ; (10.23)

2) $LaTeX formula: P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx$ . (10.24)

Числовые характеристики случайной величины

1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX

– это среднее значение величины LaTeX formula: X

или центр ее распределения.

Математическое ожидание непрерывной LaTeX formula: CBX

с плотностью распределения LaTeX formula: p(x)

находят по формулам:
1) $LaTeX formula: M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx$ , (10.26)

если все значения LaTeX formula: CBX

принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ ;

2) $LaTeX formula: M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx$ , (10.26.1)

если все значения LaTeX formula: CBX

принадлежат промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )$ .

2. Дисперсия или рассеивание LaTeX formula: CBX

– это математическое ожидание квадрата отклонения величины LaTeX formula: X

от ее математического ожидания:

, (10.27)

Дисперсию непрерывной LaTeX formula: CBX

с плотностью распределения LaTeX formula: p(x)

находят по формулам:

1) $LaTeX formula: D(X)=\int_{\alpha }^{\beta }x^2p(x)dx-(M(X))^2$ , (10.30)

если все значения LaTeX formula: CBX

принадлежат отрезку $LaTeX formula: [\alpha ,\beta ]$ ;

2) $LaTeX formula: D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }x^2p(x)dx-(M(X))^2$ , (10.30.1)

если все значения LaTeX formula: CBX

принадлежат промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )$ .

3. Среднеквадратическое отклонение LaTeX formula: CBX

находят по формуле:

$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{D(X)}$ . (10.31)

Пример 1. Известна функция распределения случайной величины $LaTeX formula: \begin{cases} 0, x\leq 0, \\ 2^x-1, 0<x\leq 1, \\ 1, x>1. \end{cases}$
Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX

примет значение из промежутка LaTeX formula: [1;3)

Решение.
При LaTeX formula: x=1

функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=2^x-1

.
При

функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=1

.
Согласно формуле 10.23 получим:

$LaTeX formula: P(1\leq X<3)=F(3)-F(1)=1-(2^1-1)=1-1=0$ .

Ответ:

Пример 2. Известна функция $LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -0,5\pi , \\ -sinx, -0,5\pi <x\leq 0,\\ 0,x>0 \end{cases}$ плотности распределения вероятностей случайной величины. Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX

примет значение из промежутка $LaTeX formula: [-0,5\pi;0]$ .

Решение. Поскольку при $LaTeX formula: -0,5\pi \leq x\leq 0$ функция плотности вероятностей имеет вид LaTeX formula: p(x)=-sinx

, то согласно формуле 10.24 получим:

$LaTeX formula: P(-0,5\pi\leq X\leq 0)=\int_{-0,5\pi}^{0}-sinxdx=cosx|^{0}_{-0,5\pi}=$ $LaTeX formula: cos0-cos(-0,5\pi)$ LaTeX formula: =1-0=1

Ответ:

Пример 3. Случайная величина LaTeX formula: X

задана функцией распределения $LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -1, \\ (x+1)^2,-1<x\leq 0, \\ 1,x>0. \end{cases}$

Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX

Решение. По формуле 10.21 найдем функцию плотности распределения:

$LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0',x\leq -1, \\ \left ( (x+1)^2 \right )',-1<x\leq 0, \\ 1',x>0. \end{cases}$ $LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0,x\leq -1, \\ 2(x+1),-1<x\leq 0, \\ 0,x>0. \end{cases}$

По формуле 10.26 найдем математическое ожидание:

$LaTeX formula: M(X)=\int_{-1}^{0}(2x^2+2x)dx=\frac{2x^3}{3}+x^2|^0_{-1}=0+\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$ .

По формуле 10.30 найдем дисперсию:
$LaTeX formula: D(X)=\int_{-1}^{0}(2x^3+2x^2)dx-\left ( -\frac{1}{3} \right )^2=\frac{x^4}{2}+\frac{2x^3}{3}|^0_{-1}-\frac{1}{9}=0-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{9}=$ $LaTeX formula: =\frac{1}{18}$ .

По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение:
$LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{1}{3}$ ; $LaTeX formula: \frac{1}{18}$ ; $LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

Вероятность того, что непрерывная LaTeX formula: CBX

примет значения из промежутков $LaTeX formula: (\alpha ;\beta )$ , $LaTeX formula: (\alpha ;\beta ]$ и $LaTeX formula: [\alpha ;\beta ]$ также находят по формуле 10.23, поскольку вероятность того, что LaTeX formula: CBX

примет только одно значение из заданного промежутка, равна нулю:
$LaTeX formula: P(X=\alpha )=0$ , $LaTeX formula: P(X=\beta )=0$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания