Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
1. Прямоугольная декартова система координат. 
, .png "B(3;-1)")
, .png "C(-1;-1)")
, .png "E(-2;0)")
, .png "D(-2;3)")
. 
(3.23), 
; (3.24)
(3.25), 
. (3.26)
(3.27), 
(3.28), 
; (3.29)
(3.30), 
(3.31), 
. (3.32)
(3.33) ,
(3.34), 
; (3.35)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1
(3.36), 
(3.37), 
. (3.38) 
1.1. В двумерном пространстве .png "R^2")
расположим две координатные прямые 
и 
так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 3.8). Прямую называют осью абсцисс, а прямую — осью ординат. Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел 
, которые называют координатами точки на плоскости.
расположим две координатные прямые и так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 3.8). Прямую называют осью абсцисс, а прямую — осью ординат. Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел , которые называют координатами точки на плоскости. Н а п р и м е р , на рисунке 3.8 в прямоугольной системе координат построены точки:
, , , , . 1.2. Через некоторую точку 
трехмерного пространства .png "R^3")
проведем три попарно перпендикулярные координатные прямые: — ось абсцисс, — ось ординат и 
— ось аппликат (рис. 3.9). Каждой точке в пространстве соответствует три числа 
, 
и 
, которые называют координатами точки в пространстве. Записывают: .png "M(x;y;z)")
.
трехмерного пространства проведем три попарно перпендикулярные координатные прямые: — ось абсцисс, — ось ординат и — ось аппликат (рис. 3.9). Каждой точке в пространстве соответствует три числа , и , которые называют координатами точки в пространстве. Записывают: .Н а п р и м е р, на рисунке 3.9 в прямоугольной декартовой системе координат построены точки: .png "N(2;5;0)")
, .png "P(0;0;4)")
и .png "M(2;5;4)")
.
, и .2. Полярная система координат.
Полярная система координат на плоскости определяется точкой (полюс), лучом .png "Op")
(полярная ось), масштабным отрезком .png "e")
, направлением отсчета углов (рис. 3.10).
(полюс), лучом (полярная ось), масштабным отрезком , направлением отсчета углов (рис. 3.10).Полярными координатами точки 
, не совпадающей с полюсом, называют полярный радиус .png "\rho")
(расстояние от точки до полюса) и полярный угол 
( угол между полярной осью .png "Op")
и лучом 
.
, не совпадающей с полюсом, называют полярный радиус (расстояние от точки до полюса) и полярный угол ( угол между полярной осью и лучом . Записывают: .png "M(\rho;\varphi)")
, где .png "\rho\geq 0")
, .png "0\leq \varphi < 2\pi")
.
, где , .Связь между декартовыми координатами и точки и ее полярными координатами .png "\rho")
и (рис. 3.11) выражается формулами:
и точки и ее полярными координатами и (рис. 3.11) выражается формулами: (3.23), ; (3.24) (3.25), . (3.26)3. Цилиндрическая система координат.
Цилиндрическими координатами точки (рис. 3.12) называют числа , 
и .png "z_{0}")
, где и — полярные координаты точки 
, .png "z_{0}")
— длина отрезка 
, точка — проекция точки на плоскость .png "xOy")
, точка 
— проекция точки 
на ось .
(рис. 3.12) называют числа , и , где и — полярные координаты точки , — длина отрезка , точка — проекция точки на плоскость , точка — проекция точки на ось .Записывают: .png "M(\rho;\varphi;z_{0})")
, где .png "\rho\geq 0")
, .png "0\leq \varphi < 2\pi")
.
, где , .Связь между декартовыми координатами , и точки и ее цилиндрическими координатами , и выражается формулами:
, и точки и ее цилиндрическими координатами , и выражается формулами: (3.27), (3.28), ; (3.29) (3.30), (3.31), . (3.32)4. Сферическая система координат.
Сферическими координатами точки (рис 3.13) называют числа 
, .png "\theta")
и , где 
— длина отрезка , — угол между отрезком и осью , — угол, на который необходимо повернуть ось против часовой стрелки со стороны положительного направления оси , чтобы она совпала с лучом .png "ON")
.
(рис 3.13) называют числа , и , где — длина отрезка , — угол между отрезком и осью , — угол, на который необходимо повернуть ось против часовой стрелки со стороны положительного направления оси , чтобы она совпала с лучом . Записывают: .png "M(r;\theta;\varphi)")
, где .png "r\geq 0")
, 
, .png "0\leq \varphi < 2\pi")
.
, где , , .Связь между декартовыми координатами , и точки и ее сферическими координатами , .png "\theta")
и выражается формулами:
, и точки и ее сферическими координатами , и выражается формулами: (3.33) , (3.34), ; (3.35)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 (3.36), (3.37), . (3.38) Пример 1. Найдите декартовы координаты точки .png "M(2;\frac{\pi }{3})")
, заданной в полярной системе координат..png "x=2cos\frac{\pi }{3}=1")
; .png "y=2sin\frac{\pi }{3}=\sqrt3")
.png "x=2cos(\pi-\frac{\pi}{3})=2\cdot\frac{-1}{2}=-1")
; .png "y=2sin(\pi-\frac{\pi}{3})=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3")
; .png "z=6")
..png "x=\sqrt3 sin(\pi-\frac{\pi}{6})cos(\pi+\frac{\pi}{4})=\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{-\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt6}{4}")
;.png "y=\sqrt3 sin(\pi-\frac{\pi}{6})sin(\pi+\frac{\pi}{4})=\sqrt3\cdot\frac{1}{2}\cdot(-\frac{\sqrt2}{2})=-\frac{\sqrt6}{4}")
;.png "z=\sqrt3 cos(\pi-\frac{\pi}{6})=\sqrt3\cdot\frac{-\sqrt3}{2}=-\frac{3}{2}")
..png "\rho=\sqrt{1+3}=2")
, 
..png "tg\varphi=\frac{\sqrt3}{-1}=-\sqrt3")
, откуда .png "\varphi=\pi-arctg\sqrt3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}")
, так как проекция точки на плоскость .png "xOy")
находится во второй четверти координатной плоскости.
.
, откуда 
, так как проекция точки на плоскость 
находится в третьей четверти координатной плоскости.
, откуда 
.
, заданной в полярной системе координат..png "\rho =2")
.png "\varphi =\frac{\pi }{3}")
, то по формулам ; Ответ: .png "M(1;\sqrt3)")
.
.Пример 2. Найдите декартовы координаты точки .png "M(2;\frac{2\pi}{3};6)")
, заданной в цилиндрической системе координат.
, заданной в цилиндрической системе координат..png "\rho =2")
, .png "\varphi=\frac{2\pi}{3}")
, .png "z_{0}=6")
, то по формулам ; ; .Ответ: .png "M(-1;\sqrt3;6)")
.
.Пример 3. Найдите декартовы координаты точки .png "M(\sqrt3;\frac{5\pi}{6};\frac{5\pi}{4})")
, заданной в сферической системе координат.
, заданной в сферической системе координат..png "r=\sqrt3")
, 
, .png "\varphi =\frac{5\pi}{4}")
, то по формулам ;;.Ответ: .png "M(-0,25\sqrt6;-0,25\sqrt6;-1,5)")
.
.Пример 4. Найдите цилиндрические координаты точки .png "M(-1;\sqrt3;6)")
, заданной в декартовой системе координат.
, заданной в декартовой системе координат.Решение. Согласно условию задачи 
, .png "y=\sqrt3")
, .png "z=6")
.
, , ., .2. По формуле 3.31 получим:
, откуда , так как проекция точки на плоскость находится во второй четверти координатной плоскости.Ответ: .png "M(2;\frac{2\pi}{3};6)")
.
.Пример 5. Найдите сферические координаты точки 
, заданной в декартовой системе координат.
, заданной в декартовой системе координат. Решение. Согласно условию задачи 
, 
, 
.
, , ..2. По формуле 3.37 получим:
, откуда , так как проекция точки на плоскость находится в третьей четверти координатной плоскости.3. По формуле 3.38 получим:
, откуда .Ответ: 
.
.Так как в полярной, цилиндрической и сферической системах координат .png "0\leq \varphi < 2\pi")
то:
то:1) если 
и 
, то .png "\varphi =arctg\frac{y}{x}")
;
и , то ;2) если .png "x<0")
, а 
, то .png "\varphi =\pi -arctg\frac{y}{x}")
;
, а , то ;3) если .png "x<0")
и .png "y<0")
, то .png "\varphi =\pi +arctg\frac{y}{x}")
;
и , то ;4) если 
, а .png "y<0")
, то .png "\varphi =2\pi -arctg\frac{y}{x}")
.
, а , то .