Дисперсионный анализ /qualihelpy

Дисперсионный анализ

Справочник / Студент / Математическая статистика /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Дисперсионный анализ определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента.

Рассмотрим задачу выявления и оценки степени влияния фактора LaTeX formula: A

на изменчивость случайной величины LaTeX formula: X

(полный дисперсионный однофакторный анализ с параллельными испытаниями).

Рассмотрим LaTeX formula: m

уровней фактора LaTeX formula: A

, на каждом из которых поставлено по LaTeX formula: n

испытаний:

Объем выборки: LaTeX formula: N=nm

Имеет место равенство LaTeX formula: Q=Q_0+Q_A

,
где

– общая изменчивость (вариативность) признака LaTeX formula: X

;

– изменчивость признака LaTeX formula: X

внутри уровней; LaTeX formula: Q_A

– изменчивость признака LaTeX formula: X

между уровнями.

Сформулируем гипотезы:

H0: влияние фактора А на величину Х не значимо.

H1: влияние фактора А на величину Х значимо.

1. Вычислим изменчивости признака LaTeX formula: X

$LaTeX formula: Q=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2-\frac{1}{N}(\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}x_{ij})^2$ ; (11.32)

$LaTeX formula: Q_0=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}x_{ij}^2-\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n}x_{ij})^2$ ; (11.33)

$LaTeX formula: Q_A=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n}x_{ij})^2-\frac{1}{N}(\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}x_{ij})^2$ . (11.34)

2. Определим дисперсии ( LaTeX formula: D_A

- междууровневую, LaTeX formula: D_O

- внутриуровневую):

$LaTeX formula: D_A=\frac{Q_A}{N-1}$ ; (11.35)

$LaTeX formula: D_0=\frac{Q_0}{N-1}$ . (11.36)

3. Найдем выборочную статистику Фишера:

$LaTeX formula: F=\frac{nD_A+D_0}{D_0}$ . (11.37)

4. Найдем критическую точку распределения Фишера:

$LaTeX formula: F_{\kappa \rho }=F(m-1;m(n-1))$ . (11.38)

5. Сравним LaTeX formula: F

и $LaTeX formula: F_{\kappa \rho }$ :

1) если $LaTeX formula: F\leq F_{\kappa \rho }$ , то принимаем гипотезу об отсутствии влияния фактора LaTeX formula: A

на величину LaTeX formula: X

;

2) если $LaTeX formula: F>F_{\kappa \rho }$ , то влияние фактора LaTeX formula: A

значимо.

Пример. В экспериментальном классе разработаны три варианта методики обучения. Необходимо оценить степень влияния экспериментальной методики обучения на изменчивость уровня математической подготовки учащихся. Результаты промежуточной аттестации приведены в таблице:

Решение. Сформулируем гипотезы.

H0: влияние Методики обучения на уровень подготовки учащихся не значимо.

H1: влияние Методики обучения на уровень подготовки учащихся значимо.

Все расчеты будем выполнять в таблице:

Объем выборки: $LaTeX formula: N=nm=17\cdot 3=51$ .

По формуле 11.32 найдем общую изменчивость (вариативность) признака LaTeX formula: X

$LaTeX formula: Q=2469-\frac{341^2}{51}=2469-2280,02=188,98$ .

По формуле 11.33 найдем изменчивость признака LaTeX formula: X

внутри уровней:

$LaTeX formula: Q_0=2469-\frac{38961}{17}=2469-2291,82=177,18$ .

По формуле 11.34 найдем изменчивость признака LaTeX formula: X

между уровнями:

По формуле 11.35 найдем междууровневую дисперсию:
$LaTeX formula: D_A=\frac{11,8}{50}=0,236$ .

По формуле 11.36 найдем внутриуровневую дисперсию:
$LaTeX formula: D_0=\frac{177,18}{50}=3,544$ .

По формуле 11.37 получим: $LaTeX formula: F=\frac{17\cdot 0,236+3,544}{3,544}=2,132$ .

По формуле 11.38 на уровне значимости LaTeX formula: 0,01

найдем критическую точку распределения Фишера:
$LaTeX formula: F_{\kappa \rho }=F(2;48)=5,18$ при $LaTeX formula: \alpha =0,01$ .

Ответ: Поскольку если $LaTeX formula: F<F_{\kappa \rho }$ , то влияние методики на результаты обучения обучения математике не значимо.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания