Проверка статистических гипотез /qualihelpy

Проверка статистических гипотез

Справочник / Студент / Математическая статистика /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Статистическими гипотезами называют предположения, выдвигаемые на основании выборочных исследований относительно характера или параметров распределения случайной величины в генеральной совокупности.

Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение относительно параметра известного распределения.

Гипотеза называется непараметрической, если в ней содержится утверждение относительно вида распределения.

Как правило, выдвигают основную (нулевую) гипотезу и альтернативную гипотезу LaTeX formula: H_1

, которая является логическим отрицанием гипотезы LaTeX formula: H_0

Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Приведем алгоритм проверки гипотезы LaTeX formula: H_0

о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения LaTeX formula: CBX

при уровне значимости $LaTeX formula: \alpha$ .

Гипотезы: $LaTeX formula: H_0:CBX\in N(\alpha ;\sigma )$ ; $LaTeX formula: H_0:CBX\notin N(\alpha ;\sigma )$ .

1. Построим интервальный вариационный ряд для значений признака LaTeX formula: CBX:l

– число интервалов; LaTeX formula: m_i

– число значений признака LaTeX formula: X

, попавших в LaTeX formula: i

--й интервал; LaTeX formula: n

– объем выборки .

2. Найдем точечные оценки параметров распределения: $LaTeX formula: a\approx \overline{X}$ и $LaTeX formula: \sigma \approx s$ .

3. Запишем гипотетическую функцию нормального распределения:
$LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi \left (\frac{x-a}{\sigma }\right )$ . (11.21)

4. Вычислим вероятности LaTeX formula: p_i

попадания

в частичный LaTeX formula: i

-й интервал $LaTeX formula: (\alpha_i ;\beta_i )$ :

$LaTeX formula: p_i=P(\alpha _i<X<\beta _i)=\Phi \left (\frac{\beta _i-a}{\sigma }\right )-\Phi\left (\frac{\alpha _i-a}{\sigma }\right )$ . (11.22)

5. Вычислим теоретические частоты LaTeX formula: np_i

6. Найдем $LaTeX formula: \chi ^2$ - статистику Пирсона:

$LaTeX formula: \chi ^2=\sum_{i=1}^{l}\frac{(m_i-np_i)^2}{np_i}$ . (11.23)

7. По таблице $LaTeX formula: \chi ^2$ - распределения при заданном уровне значимости $LaTeX formula: \alpha$ и числу степеней свободы LaTeX formula: v=l-1-r

(

– число параметров проверяемого закона) найдем $LaTeX formula: \chi ^2_{a,v}$ .

8. Сравним $LaTeX formula: \chi ^2$ и $LaTeX formula: \chi ^2_{a,v}$ :

1) если $LaTeX formula: \chi ^2<\chi ^2_{a,v}$ , то гипотеза LaTeX formula: H_0

принимается на уровне значимости $LaTeX formula: \alpha$ , т. е. $LaTeX formula: CBX\in N(\alpha ;\sigma )$ ;

2) если $LaTeX formula: \chi ^2\geq \chi ^2_{a,v$ , то гипотеза LaTeX formula: H_0

отвергается и принимается альтернативная гипотеза LaTeX formula: H_1

с вероятностью $LaTeX formula: \gamma=1-\alpha$ , т. е. $LaTeX formula: CBX\notin N(\alpha ;\sigma )$ .

Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной связи

Из генеральной совокупности LaTeX formula: (X;Y)

, имеющей нормальное распределение, извлечена выборка объема LaTeX formula: n

и для нее найден выборочный коэффициент корреляции $LaTeX formula: r_{XY}\neq 0$ .

Гипотезы: $LaTeX formula: H_0:R_{XY}=0$ ; $LaTeX formula: H_0:R_{XY}\neq 0$ .

Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции LaTeX formula: R

генеральной совокупности.

1. Вычислим наблюдаемое значение критерия LaTeX formula: T

$LaTeX formula: T=\frac{r_{XY}\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_{XY}^2}}$ . (11.24)

2. По заданному уровню значимости $LaTeX formula: \alpha$ и числу степеней свободы LaTeX formula: v=n-2

по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическую точку односторонней критической области:

$LaTeX formula: t_{\kappa \rho}=\left (\frac{\alpha }{2};v\right )$ . (11.25)

3. Сравниваем LaTeX formula: T

и $LaTeX formula: t_{\kappa \rho}$ :

1) если $LaTeX formula: \left | T \right |<t_{\kappa \rho}$ , то гипотезу LaTeX formula: H_0

принимаем на уровне значимости $LaTeX formula: \alpha$ , т. е. $LaTeX formula: R_{XY}=0$ ;

2) если $LaTeX formula: \left | T \right |>t_{\kappa \rho}$ , то гипотезу LaTeX formula: H_0

отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу LaTeX formula: H_1

с вероятностью $LaTeX formula: \gamma=1-\alpha$ , т.е. $LaTeX formula: R_{XY}\neq 0$ .

Пример 1. Из всех студентов факультета было случайным образом выбрано LaTeX formula: 32

человека и выписаны их экзаменационные отметки по дисциплине "Математика":
LaTeX formula: 1

.
Необходимо на уровне значимости $LaTeX formula: \alpha =0,01$ проверить гипотезу LaTeX formula: H_0

, что отметки студентов факультета по дисциплине "Математика" распределены нормально.

Решение. 1. Построим интервальный вариационный ряд для значений признака LaTeX formula: CBX

:
$LaTeX formula: x_{min}=1$ , $LaTeX formula: x_{max}=9$ , LaTeX formula: R=9-1=8

2. Найдем точечные оценки параметров распределения.
По формуле 11.10 получим:
$LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{32}(1,8\cdot 5+3,4\cdot 8+5\cdot 5+6,6\cdot 10+8,2\cdot 4)=5$ – средняя отметка.
По формуле 11.4 получим:
$LaTeX formula: \overline{X}^2=\frac{1}{32}(8,24+92,48+125+435,6+268,96)=29,07$ .
По формуле 11.3 получим:
$LaTeX formula: \overline{D}=29,07-25=4,07$ .
По формуле 11.12 найдем эмпирический стандарт:
$LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{32}{31}\cdot 4,07}\approx 2,049$ .

3. По формуле 11.22 и таблице значений функции Лапласа (см. вкладку Обратите внимание) вычислим вероятности LaTeX formula: p_i

попадания

в частичный LaTeX formula: i

-й интервал:

$LaTeX formula: p_1=P(-\infty <X<2,6)=\Phi (\frac{2,6-5}{2,049})-\Phi (-\infty )=$ $LaTeX formula: \Phi (-1,17)+\Phi (\infty )=-0,375+0,5=0,121$ ;

$LaTeX formula: p_2=\Phi (\frac{4,2-5}{2,049})-\Phi (-1,17)=\Phi (-0,39 )+0,379=-0,1517+0,379=0,2273$ LaTeX formula: =0,2273

;

$LaTeX formula: p_3=\Phi (\frac{5,8-5}{2,049})-\Phi (-0,39)=\Phi (0,39 )+0,1517=0,1517+0,1517=0,3034$ LaTeX formula: 0,3034

;

$LaTeX formula: p_4=\Phi (\frac{7,4-5}{2,049})-\Phi (0,39)=\Phi (1,17 )-0,1517=0,2273$ ;

$LaTeX formula: p_5=\Phi (+\infty)-\Phi (1,17)=0,5-0,379=0,121$ .

4. Все расчеты представим в таблице:

5. По формуле 11.23 получим: $LaTeX formula: \chi ^2=3,7069$ .
По таблице $LaTeX formula: \chi ^2$ -распределения (см. вкладку Обратите внимание) при заданном уровне значимости $LaTeX formula: \alpha =0,01$ и числу степеней свободы LaTeX formula: v=5-1-2=2

получим:
$LaTeX formula: \chi ^2_{0,01;2}=9,21$ .
Поскольку $LaTeX formula: \chi ^2<\chi ^2_{\alpha ;v}$ , то гипотеза LaTeX formula: H_0

принимается на уровне значимости $LaTeX formula: \alpha =0,01$ .
Следовательно, отметки студентов факультета по дисциплине "Математика" распределены нормально.
Функция распределения 11.21 имеет вид:
$LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi \left (\frac{x-5}{2,049}\right )$ .
Ответ: $LaTeX formula: CBX\in N(5;2,049)$ .

Пример 2. Проверьте на уровне значимость LaTeX formula: 0,01

гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности, если выборочный коэффициент корреляции равен LaTeX formula: 0,95

, а объем выборки равен LaTeX formula: 42

Решение. Запишем гипотезы:
$LaTeX formula: H_0:R_{XY}=0$ ; $LaTeX formula: H_1:R_{XY}\neq 0$ .

1. По формуле 11.24 вычислим наблюдаемое значение критерия:
$LaTeX formula: T=\frac{0,95\sqrt{42-2}}{\sqrt{1-(0,95)^2}}\approx 19,25$ .

2. По заданному уровню значимости $LaTeX formula: \alpha =0,01$ и числу степеней свободы LaTeX formula: v=40-2=38

по формуле 11.25 и таблице критических точек распределения Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание) находим критическую точку односторонней критической области:
$LaTeX formula: t_{\kappa \rho }(\frac{0,01}{2};40)=2,704$ .

3. Так как если $LaTeX formula: \left | T \right |>t_{\kappa \rho }$ , то гипотезу LaTeX formula: H_0

отклоняем и с вероятностью LaTeX formula: 99

% принимаем гипотезу LaTeX formula: H_1

.
Следовательно, коэффициент корреляции генеральной совокупности не равен нулю.
Ответ: $LaTeX formula: R_{XY}\neq 0$ .

1. Проверяя гипотезу о нормальном распределении LaTeX formula: CBX

, первый промежуток интервального вариационного ряда LaTeX formula: [x_1;x_2)

заменяем интервалом $LaTeX formula: (-\infty ;x_2)$ , а последний отрезок $LaTeX formula: [x_{k-1};x_k]$ – промежутком $LaTeX formula: [x_{k-1};+\infty )$ .

2. Точечная оценка математического ожидания: