Оценки неизвестных параметров распределения /qualihelpy

Оценки неизвестных параметров распределения

Справочник / Студент / Математическая статистика /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Рассмотрим случайную величину LaTeX formula: X

, имеющую нормальное распределение: $LaTeX formula: X\in N(a;\sigma )$ .

Точечные оценки

Точечной оценкой математического ожидания LaTeX formula: a

генеральной совокупности является выборочная средняя:
$LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}$ . (11.10)

Точечной оценкой среднеквадратического отклонения $LaTeX formula: \sigma$ является эмпирический стандарт LaTeX formula: s

Исправленную дисперсию находят по формуле:

$LaTeX formula: s^{2} =\frac{n}{n-1}\bar{D}$ ; (11.11)

Эмпирический стандарт находят по формуле:

$LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \bar{D}}$ . (11.12)

где $LaTeX formula: \bar{D}=\bar{X^{2}}-(\bar{X})^{2}$ , $LaTeX formula: a\approx \overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$

Интервальные оценки

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания:

$LaTeX formula: \bar{X}-\delta < a< \bar{X}+\delta$ . (11.13)

1.1. Если среднее квадратическое отклонение $LaTeX formula: \sigma$ известно, то

$LaTeX formula: \delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}$ , (11.14)
где $LaTeX formula: t_{\alpha }$ – корень уравнения $LaTeX formula: 2\phi (t)=\gamma$ , LaTeX formula: n

– объем выборки, $LaTeX formula: \gamma =1-\alpha$ – доверительная вероятность.

Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр LaTeX formula: a

с надежностью $LaTeX formula: \gamma$ , имеет вид:

$LaTeX formula: I=\left ( \overline{X}-\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}} ;\overline{X}+\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}\right )$ . (11.15)

1.2. Если среднее квадратическое отклонение $LaTeX formula: \sigma$ неизвестно, то

$LaTeX formula: \delta =\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}}$ , (11.16)
где $LaTeX formula: {t_{\gamma ,n-1}$ – аргумент функции Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание), LaTeX formula: s

– точечная оценка $LaTeX formula: \sigma$ .

Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр LaTeX formula: a

с надежностью $LaTeX formula: \gamma$ , имеет вид:

$LaTeX formula: I=\left ( \bar{X}-\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}};\bar{X}+\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}}\right )$ . (11.17)

2. Доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения нормально распределенной LaTeX formula: CBX

, если

и $LaTeX formula: \sigma$ неизвестны:

$LaTeX formula: \frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{2}}< \sigma < \frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{1}}$ , (11.18)

где

$LaTeX formula: \chi_{1}^{2}=\chi ^{2}\left ( \frac{1+\gamma }{2};n-1 \right )$ , (11.19)

$LaTeX formula: \chi_{2}^{2}=\chi ^{2}\left ( \frac{1-\gamma }{2};n-1 \right )$ . (11.20)

Значения $LaTeX formula: X_{1}^{2}$ и $LaTeX formula: X_{2}^{2}$ определяются по таблице $LaTeX formula: X^{2}$ -распределения (см. вкладку Обратите внимание).

Пример. Найдите точечные и интервальные оценки параметров нормального распределения LaTeX formula: CBX

Решение.
1. Найдем точечные оценки параметров распределения.

В качестве значений $LaTeX formula: x_{i}$ возьмем середины интервалов:

По формуле 11.10 найдем точечную оценку математического ожидания:

$LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{35}(2\cdot 5+4\cdot 8+6\cdot 9+8\cdot 8+10\cdot 5)=6$ .

По формуле $LaTeX formula: \overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}$ получим:
$LaTeX formula: \overline{X^{2}}=\frac{1}{35}(4\cdot 5+16\cdot 8+36\cdot 9+64\cdot 8+100\cdot 5)=42,4$ .

По формуле $LaTeX formula: \overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2}$ получим:
$LaTeX formula: \overline{D}=42,4-36=6,4$ .

По формуле 11.12 найдем эмпирический стандарт:
$LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{35}{34}\cdot 6,4}\approx 2,57$ .

2. С вероятностью 99% найдем доверительный интервал для математического ожидания LaTeX formula: CBX

По формуле 11.16 и таблице распределения Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание) получим: $LaTeX formula: \delta =\frac{2,57\cdot t_{\frac{0,01}{2};34}}{\sqrt{35}}=\frac{2,57\cdot 2,75}{5,92}=1,19$ .

Согласно формуле 11.17 запишем:
LaTeX formula: 6-1,19< M(X)< 6+1,19

3. С вероятностью $LaTeX formula: 99\%$ найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения LaTeX formula: CBX

По формуле 11.19 и таблице значений $LaTeX formula: \chi ^{2}$ -распределения (см. вкладку Обратите внимание) получим:
$LaTeX formula: \chi_{1} ^{2}\left ( \frac{1,99}{2};34 \right )=13,78$ , откуда $LaTeX formula: \chi_{1} =3,71$ .

По формуле 11.20 и таблице значений $LaTeX formula: \chi ^{2}$ -распределения получим:
$LaTeX formula: \chi_{2} ^{2}\left ( \frac{0,01}{2};33 \right )=53,67$ , откуда .

Согласно формуле 11.18 запишем:
$LaTeX formula: \frac{2,57\sqrt{34}}{7,33}< \sigma < \frac{2,57\sqrt{34}}{3,71}$ , $LaTeX formula: 2,04< \sigma < 4,04$ .

Ответ: