Основные понятия математической статистики /qualihelpy

Основные понятия математической статистики

Справочник / Студент / Математическая статистика /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Математическая статистика изучает методы сбора, обработки и интерпретации результатов опытов (экспериментов).

Генеральной совокупностью называют множество однородных объектов с характерными для них признаками.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют подмножество объектов генеральной совокупности, извлеченных из нее случайным образом.

Случайная величина LaTeX formula: X

– наблюдаемые (полученные экспериментально) значения некоторого признака, характерного для всех объектов совокупности.

Статистические ряды

Различают дискретные и интервальные статистические ряды.

Рассмотрим выборку LaTeX formula: CBX

$LaTeX formula: x_{1}$ , $LaTeX formula: x_{2}$ , …, $LaTeX formula: x_{n}$ объема LaTeX formula: n

1. Дискретный вариационный ряд распределения случайной величины LaTeX formula: X

имеет вид:

Таблица 1

Чтобы построить дискретный вариационный ряд, необходимо:

1) расположить значения признака LaTeX formula: X

(варианты) в порядке возрастания:
$LaTeX formula: x_{1}< x_{2}< x_{3}< ...< x_{k}$ ;

2) найти частоты $LaTeX formula: m_{i}$ вариант (количество значений вариант $LaTeX formula: x_{i}$ );

3) найти относительные частоты $LaTeX formula: \omega _{i}=\frac{m_{i}}{n}$ вариант.

2. Интервальный вариационный ряд распределения случайной величины LaTeX formula: X

имеет вид:

Таблица 2

Чтобы построить интервальный вариационный ряд, необходимо:

1) найти размах вариации: $LaTeX formula: R=x_{max}-x_{min}$ , где $LaTeX formula: x_{1}=x_{min}$ , $LaTeX formula: x_{k}=x_{max}$ ;

2) определить количество интервалов: LaTeX formula: k

;

3) найти длину интервала: $LaTeX formula: h=\frac{R}{k}$ ;

4) найти частоты вариант на интервалах: $LaTeX formula: m_{i}$ ;

5) найти относительные частоты вариант на интервалах: $LaTeX formula: \omega _{i}=\frac{m_{i}}{n}$ .

Функция распределения выборки

Эмпирической функцией распределения выборки, представленной в таблице 1, называют функцию вида:

$LaTeX formula: F_{n}(x)=\sum_{i:{x_{i}}'< x}\frac{m_{i}}n{}=\begin{cases} & \ 0, \ x\leq x_{1} ;\\ & \ \omega _{1}, \ x_{1}< x\leq x_{2}; \\ & \ \omega _{1}+\omega _{2}, \ x_{2}< x\leq x_{3}; \\ & \ ... \\ & \ \sum_{i=1}^{k-1}\omega _{1}, \ x_{k-1}< x\leq x_{k}; \\ & \ 1, \ x> x_{k}. \end{cases}$ (11.1)

Графическое представление выборки

1. Полигоном частот выборки (таблица 1) называют ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида $LaTeX formula: (x_{i};m_{i})$ , $LaTeX formula: i=\overline{1,k}$ ,

а полигоном относительных частот – ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида $LaTeX formula: (x_{i};\omega _{i})$ , $LaTeX formula: i=\overline{1,k}$ .

2. Гистограммой частот выборки (таблица 2) называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – частоты данных интервалов,

а гистограммой относительных частот – диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – относительные частоты данных интервалов.

Пример 1. Даны следующие значения LaTeX formula: CBX

;

;

;

;

;

;

;

.
Необходимо:
1) построить дискретный вариационный ряд;
2) записать и построить эмпирическую функцию распределения случайной величины;
3) построить полигон частот.

Решение. 1. Расположим значения признака в порядке возрастания:
LaTeX formula: 0,2

;

Построим дискретный вариационный ряд:

2. По формуле 11.1 найдем эмпирическую функцию распределения LaTeX formula: CBX

$LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} & \ 0, \ x\leq 0,2 ;\\ & \ \frac{6}{30}, \ 0,2< x\leq 0,4; \\ & \ \frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{11}{30}, \ 0,4< x\leq 0,6; \\ & \ \frac{11}{30}+\frac{8}{30}=\frac{19}{30}, \ 0,6< x\leq 0,8; \\ & \ \frac{19}{30}+\frac{4}{30}=\frac{23}{30}, \ 0,8< x\leq 1,0; \\ & \ \frac{23}{30}+\frac{4}{30}=\frac{27}{30}, \ 1,0< x\leq 1,0; \\ & \ \frac{27}{30}+\frac{2}{30}=\frac{29}{30}, \ 1,2< x\leq 1,4; \\ & \ \frac{29}{30}+\frac{1}{30}=1, \ x> 1,4. \\ \end{cases}$