Дискретные случайные величины

Справочник / Студент / Теория вероятностей / Дискретные случайные величины
Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты
Понятие случайной величины
Случайная величина – это величина, значения которой зависят от случая.
Н а п р и м е р, вес пойманной рыбы, температура воздуха в течение суток, сумма выигрыша лотерейного билета и т. п.
Случайная величина обозначается буквами LaTeX formula: X , LaTeX formula: Y , LaTeX formula: Z и т. д. 
Дискретная LaTeX formula: CBX принимает конечное или счетное множество значений;
Говорят, что задан закон распределения случайной величины LaTeX formula: X , если каждому значению LaTeX formula: x поставлена в соответствие вероятность его появления и сумма всех вероятностей равна числу LaTeX formula: 1. 
Закон распределения LaTeX formula: CBX может быть задан аналитически (формулой) или таблицей.
Приведем табличный закон распределения дискретной LaTeX formula: CBX :
Функция распределения
Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX имеет вид:
LaTeX formula: F(x)=\sum _{x_k<x}P(X=x_k) , (10.18)
где LaTeX formula: x_k<x  означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше LaTeX formula: x, или иначе
 LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0, x\leq x_1; \\ p_1, x_1<x\leq x_2; \\ p_1+p_2,x_2<x\leq x_3; \\ ...................................\\ \sum ^{k-1}_{i=1}p_i,x_{k-1}<x\leq x_k; \\ 1, x>x_k. \end{cases} , (10.18.1)
Н а п р и м е р, на рисунке 10.3 изображен график функции распределения некоторой дискретной случайной величины.
Вероятность того, что дискретная LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [\alpha ;\beta )  равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.
Числовые характеристики 
1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX – это среднее значение величины LaTeX formula: X или центр ее распределения.
Математическое ожидание дискретной LaTeX formula: CBX, находят по формуле: 
LaTeX formula: M(X)=\sum ^{n}_{i=1}x_ip_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} . (10.25)
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX заключено между ее наибольшим и наименьшим значениями.
2. LaTeX formula: M(c)=c , где LaTeX formula: c – константа.
3. LaTeX formula: M(kX)=kM(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
4. LaTeX formula: M(X+Y)=M(X)+M(Y) .
5. LaTeX formula: M(X \cdot Y)=M(X)\cdot M(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
2. Дисперсия или рассеивание LaTeX formula: CBX – это математическое ожидание квадрата отклонения величины LaTeX formula: X от ее математического ожидания: 
LaTeX formula: D(X)=M(X-M(X))^2 , (10.27)
Дисперсию дискретной LaTeX formula: CBX можно найти по формуле:
LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X) , (10.28)
где 
LaTeX formula: M(X^2)=\sum ^n_{i=1}x^2_ip_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} . (10.29)
Свойства дисперсии
1. LaTeX formula: D(c)=0 , где LaTeX formula: c – константа.
2. LaTeX formula: D(kX)=k^2D(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
3. LaTeX formula: D(X+Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
4. LaTeX formula: D(X-Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
3. Среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX – корень квадратный из ее дисперсии:
LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{D(X)} . (10.31)
Пример 1. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:
Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение, не большее чем LaTeX formula: 3.
Решение. Так как промежутку LaTeX formula: (-\infty ;3] принадлежат два значения LaTeX formula: CBX (LaTeX formula: 1,5 и LaTeX formula: 2,5), то 
LaTeX formula: P(-\infty <X\leq 3)=P(X=1,5)+P(X=2,5)=0,2+0,2= LaTeX formula: 0,4 . 
Ответ:  LaTeX formula: 0,4 .
Пример 2. Постройте функцию распределения дискретной случайной величины LaTeX formula: X, заданной таблицей:
Решение. Согласно формуле 10.18.1 запишем функцию распределения дискретной LaTeX formula: CBX: 
 LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0, x\leq -2; \\ 0,2, -2<x\leq -1;\\ 0,2+0,2=0,4, -1<x\leq 0;\\ 0,4+0,1=0,5, 0<x\leq 1;\\ 0,5+0,3=0,8, 1<x \leq 2;\\ 0,8+0,2=1, x>2 \end{cases}
График функции LaTeX formula: F(x) изображен на рисунке 10.5.
Пример 3. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX. 
Решение.
По формуле 10.25 найдем математическое ожидание: 
LaTeX formula: M(X)=-2\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,2=0,1 .
По формуле 10.29 найдем математическое ожидание квадрата LaTeX formula: CBX : 
LaTeX formula: M(X^2)=(-2)^2\cdot 0,2+(-1)^2\cdot 0,2+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,3+2^2\cdot0,2 LaTeX formula: =2,1 . 
По формуле 10.28 найдем дисперсию: 
LaTeX formula: D(X)=2,1-0,1^2=2,09 .
По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение: 
LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{2,09} . 
Ответ:  LaTeX formula: 0,1 ; LaTeX formula: 2,09 ; LaTeX formula: \sqrt{2,09} .
1. Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX является разрывной.
2. Математическое ожидание и дисперсия LaTeX formula: CBX являются частными случаями таких числовых характеристик как моменты случайных величин:
начальный момент LaTeX formula: k-ой степени LaTeX formula: CBX находят по формуле: 
LaTeX formula: v_k=M(X^k) ; (10.40)
центральный момент LaTeX formula: k-ой степени случайной величины LaTeX formula: X находят по формуле: 
LaTeX formula: \mu _k=M(X-M(X))^k . (10.41)
Частные случаи: LaTeX formula: \mu _1=0 , LaTeX formula: \mu _2=D(X) .
3. Асимметрией называют число LaTeX formula: \alpha =\frac{\mu _3}{\sigma ^3} , которое характеризует степень отклонения плотности вероятностей от симметричной.
4. Эксцессом называют число LaTeX formula: \varepsilon =\frac{\mu _4}{\sigma ^4}-3 , которое характеризует остроту пика максимума плотности вероятностей.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) m_5_случайные_величины m_6_функция_распределения m_7_числовые_характеристики_свх
© Сиротина И.К., 2013—2025
formula