Иррациональные уравнения /qualihelpy

Иррациональные уравнения

Справочник / Школьник / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Иррациональными называют уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.

Область определения (область допустимых значений) иррационального уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени. Если же радикал записан в знаменателе дроби, то выражения, стоящие под знаком радикала четной степени, должны быть положительными.

Методы решений иррациональных уравнений

1. Метод подстановки.

2. Метод «уединения» радикала, который состоит в том, что, оставляя радикал в одной части уравнения, возводят обе части уравнения в соответствующую степень до тех пор, пока не получат уравнение не содержащее радикалов. При возведении в четную степень необходимо помнить, что обе части уравнения не должны быть отрицательными.

Частные случаи метода «уединения» радикала:

1) Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}=g(x)$ , то, возведя обе его части в квадрат (в общем случае в любую четную степень) при условии, что $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ , получим LaTeX formula: f(x)=g^2(x)

2) Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\phi (x),$ то заменим его уравнением $LaTeX formula: (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)})^2=(\phi (x))^2$ при условии, что $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0, &\\ g(x)\geq 0, & \\ \phi(x)\geq 0 .& \end{matrix}\right.$ «Уединим» радикал, приведем подобные слагаемые, опять «уединим» радикал и возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что они не отрицательны.

3) Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}=\phi (x),$ то при условии, что $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0, &\\ g(x)\geq 0, & \\ \phi(x)\geq 0 .& \end{matrix}\right.$ запишем его в виде $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}=\sqrt{\phi (x)}+\sqrt{g(x)}$ и возведем обе части в квадрат. Затем «уединим» радикал, приведем подобные слагаемые и опять возведем в квадрат с учетом вновь возникающих ограничений на переменную.

4) Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \sqrt[3]{f(x)}+\sqrt[3]{g(x)}=\phi (x),$ то запишем его в виде $LaTeX formula: \sqrt[3]{f(x)}=\phi (x)-\sqrt[3]{g(x)}$ и возведем обе его части в третью степень: $LaTeX formula: f(x)=\left (\phi (x)-\sqrt[3]{g(x)} \right )^3$ . Далее, как правило, применяется подстановка $LaTeX formula: \sqrt[3]{g(x)} \right =a$ .

«Уединяя» радикал и снова возводя обе части уравнения в третью степень, получим уравнение, не содержащее переменную под знаком радикала.

3. Использование монотонности функций при решении уравнений. Так, если функция LaTeX formula: f(x)

строго возрастает, а функция LaTeX formula: g(x)

строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение LaTeX formula: f(x)=g(x)

на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.

Например, решим уравнение $LaTeX formula: \sqrt{2x+7}=8-\sqrt{x}$ . Так как левая часть этого уравнения представлена строго возрастающей функцией, а правая – строго убывающей функцией, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения. Проверкой убедимся, что $LaTeX formula: x=9: \sqrt{18+7}=8-\sqrt{9}, 5=5.$

Пример 1. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt[5]{(5x+2)^3}-6=\frac{16}{\sqrt[5]{(5x+2)^3}}$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: \sqrt[5]{(5x+2)^3}=a$ $LaTeX formula: (a\neq 0)$ , получим:

$LaTeX formula: a-6-\frac{16}{a}=0, a^2-6a-16=0,$ откуда $LaTeX formula: a_{1}=-2, a_{2}=8$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: \sqrt[5]{(5x+2)^3}=a$ , решим два уравнения:

1) $LaTeX formula: \sqrt[5]{(5x+2)^3}=-2, (5x+2)^{\frac{3}{5}}=-2, 5x+2=(-2)^{\frac{5}{3}},$ $LaTeX formula: 5x+2=-2\cdot (-2)^{\frac{2}{3}} , 5x=-2\sqrt[3]{4}-2,$ $LaTeX formula: 5x=-2(1+\sqrt[3]{4}), x=-0,4(1+\sqrt[3]{4}) ;$

2) $LaTeX formula: \sqrt[5]{(5x+2)^3}=8, (5x+2)^{\frac{3}{5}}=2^3, 5x+2=2^5, x=6.$

Ответ: $LaTeX formula: x_{1}=-0,4(1+\sqrt[3]{4}), x_{2}=6$ .

Пример 2. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x^3+8}+\sqrt[4]{x^3+8}-6=0$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: \sqrt[4]{x^3+8}=a$ и $LaTeX formula: \sqrt{x^3+8}=a^2$ , получим LaTeX formula: a^2+a-6=0

, откуда $LaTeX formula: a_{1}=-3, a_{2}=2.$ Учитывая подстановку $LaTeX formula: \sqrt[4]{x^3+8}=a$ решим уравнение $LaTeX formula: \sqrt[4]{x^3+8}=2$ . Тогда LaTeX formula: x^3+8=16

, откуда

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x\sqrt[5]{x}}=\sqrt[5]{x\sqrt{x}}+56$ .

Решение. Применим свойства степеней и запишем уравнение в виде $LaTeX formula: x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{10}}-x^{\frac{1}{5}}x^{\frac{1}{10}}-56=0$ или $LaTeX formula: x^{\frac{6}{10}}-x^{\frac{3}{10}}-56=0$ .

Полагая $LaTeX formula: x^{\frac{3}{10}}=a$ , получим LaTeX formula: a^2-a-56=0

, откуда $LaTeX formula: a_{1}=-7, a_{2}=8$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: x^{\frac{3}{10}}=a$ $LaTeX formula: (a\geq 0)$ найдем значение $LaTeX formula: x: x^{\frac{3}{10}}=2^3, x^{\frac{1}{10}}=2,x=2^{10}, x=1024.$

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение $LaTeX formula: \frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}=\frac{3}{4}$ .

Решение. Уравнение запишем в виде $LaTeX formula: \frac{\sqrt[6]{x^3}+\sqrt[6]{x^2}}{\sqrt[6]{x^3}-\sqrt[6]{x^2}}=\frac{3}{4}$ .

Полагая $LaTeX formula: \sqrt[6]{x}=a$ LaTeX formula: (a>0),

получим: $LaTeX formula: \frac{a^3+a^2}{a^3-a^2}=\frac{3}{4}, \frac{a^2(a+1)}{a^2(a-1)}=\frac{3}{4},\frac{a+1}{a-1}=\frac{3}{4},4a+4=3a-3, a=-7.$

Уравнение $LaTeX formula: \sqrt[6]{x}=-7$ корней не имеет.

Ответ: $LaTeX formula: \varnothing$ .

Пример 5. Найдите сумму корней уравнения $LaTeX formula: 0,5x^2-2x-3=0,5\sqrt{2x^2-8x+12}$ .

Решение. Умножив обе части уравнения на LaTeX formula: 4

, получим: $LaTeX formula: 2x^2-8x-12=2\sqrt{2x^2-8x+12}$ .

Полагая $LaTeX formula: \sqrt{2x^2-8x+12}=a$ , запишем: LaTeX formula: 2x^2-8x+12=a^2, 2x^2-8x=a^2-12

Тогда исходное уравнение примет вид LaTeX formula: a^2-12-12=2a

или

, откуда $LaTeX formula: a_{1}=6, a_{2}=-4$ .

Поскольку $LaTeX formula: a\geq 0$ , то решим уравнение $LaTeX formula: \sqrt{2x^2-8x+12}=6$ . Тогда LaTeX formula: 2x^2-8x+12=36,x^2-4x-12=0,

откуда по теореме Виета $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=4$ .

Ответ:

Пример 6. Решите уравнение $LaTeX formula: 1+\sqrt{1+x\sqrt{x-4}}=x$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: x-4\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 4$ .

1. «Уединим» радикал: $LaTeX formula: \sqrt{1+x\sqrt{x-4}}=x-1$ .

2. Возведя обе части уравнения в квадрат, поскольку правая часть этого уравнения положительна на ОДЗ, получим: $LaTeX formula: 1+x\sqrt{x-4}=x^2-2x+1,x\sqrt{x-4}=x^2-2x.$

Так как число LaTeX formula: 0

не является корнем уравнения, то разделим обе его части на LaTeX formula: x

и запишем: $LaTeX formula: \sqrt{x-4}=x-2$ .

3. Поскольку правая часть уравнения $LaTeX formula: \sqrt{x-4}=x-2$ положительна на ОДЗ, то возведем обе части этого уравнения в квадрат: LaTeX formula: x-4=x^2-4x+4, x^2-5x+8=0,

LaTeX formula: x-4=x^2-4x+4, x^2-5x+8=0,

откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .

Ответ: $LaTeX formula: \varnothing .$

Пример 7. Определите число корней уравнения $LaTeX formula: \sqrt{2x-9}+\sqrt{x-8}=\sqrt{x+5}$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2x-9\geq 0, & \\ x-8\geq 0, & \\ x+5\geq0; & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 8.$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат и «уединим» радикал:

$LaTeX formula: \left (\sqrt{2x-9}+\sqrt{x-8} \right )^2=\left (\sqrt{x+5} \right )^2,$ $LaTeX formula: 2x-9+2\sqrt{(2x-9)(x-8)}+x-8=x+5,$ $LaTeX formula: 2\sqrt{(2x-9)(x-8)}=-2x+22, \sqrt{(2x-9)(x-8)}=11-x.$

2. Снова возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что его правая часть неотрицательна, то есть $LaTeX formula: x\leq 11$ :

LaTeX formula: (2x-9)(x-8)=x^2-22x+121, x^2-3x-49=0

, откуда, $LaTeX formula: x_{1}=\frac{3+\sqrt{205}}{2}, x_{2}=\frac{3-\sqrt{205}}{2}$ .

Так как $LaTeX formula: x_{2}=\frac{3-\sqrt{205}}{2}$ – посторонний корень уравнения, то данное уравнение имеет единственный корень $LaTeX formula: x_{1}=\frac{3+\sqrt{205}}{2}$ .

Ответ:

Пример 8. Найдите модуль разности корней уравнения $LaTeX formula: \sqrt{3x+7}-\sqrt{x+1}=2$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 3x+7\geq 0, & \\ x+1\geq 0 ;& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq -1.$

Запишем уравнение в виде $LaTeX formula: \sqrt{3x+7}=\sqrt{x+1}+2$ и возведем обе его части в квадрат: $LaTeX formula: 3x+7=x+1+4\sqrt{x+1}+4,4\sqrt{x+1}=2x+2,$ $LaTeX formula: 2\sqrt{x+1}=x+1.$

Полагая $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=a$ , получим LaTeX formula: a^2=2a,a(a-2)=0,

откуда $LaTeX formula: a_{1}=0,a_{2}=2$ . Тогда $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=0$ , откуда LaTeX formula: x=-1

или $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=2$ , откуда LaTeX formula: x=3

Найдем модуль разности корней уравнения: $LaTeX formula: \left | -1-3 \right |=4$ .

Ответ:

Пример 9. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt[3]{6+\sqrt{x-1}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} -3=0$ .

Решение. Запишем уравнение в виде $LaTeX formula: \sqrt[3]{6+\sqrt{x-1}}=3-\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}}$ и возведем обе его части в куб. Получим: $LaTeX formula: (\sqrt[3]{6+\sqrt{x-1}})^3=(3-\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}})^3,$ $LaTeX formula: 6+\sqrt{x-1}=27-27\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}}+9\left (\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )^2-$ $LaTeX formula: 3+\sqrt{x-1},$ $LaTeX formula: \left (\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )^2-3\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}}+2=0.$

Применим подстановку $LaTeX formula: \sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )=a$ .

Решая уравнение LaTeX formula: a^2-3a+2=0,

получим $LaTeX formula: a_{1}=1, a_{2}=2$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: \sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )=a$ , решим два уравнения:

1) $LaTeX formula: \sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )=1,(\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right ) )^3=1^3,3-\sqrt{x-1}} \right=1,$ $LaTeX formula: \sqrt{x-1}=2,x-1=4, x=5;$

2) $LaTeX formula: \sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right )=2, (\sqrt[3]{3-\sqrt{x-1}} \right ))^3=2^3,3-\sqrt{x-1} \right )=8,$ $LaTeX formula: \sqrt{x-1}=-5,x\in \varnothing .$

Ответ:

Пример 10. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{3x+2}$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: \sqrt{x+2}=a$ и $LaTeX formula: \sqrt[3]{3x+2}=b$ , получим: LaTeX formula: a^2=x+2, 3a^2=3x+6, b^3=3x+2.

Тогда

Заменим уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x+2}-\sqrt[3]{3x+2}=0$ равносильной ему системой уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a-b=0, & \\ 3a^2-b^3=4. & \end{matrix}\right.$

Поскольку

, то второе уравнение системы примет вид LaTeX formula: 3a^2-a^3=4

или

. Очевидно, что число LaTeX formula: -1

является корнем этого уравнения.

Выполним деление многочлена LaTeX formula: a^3-3a^2+4=0

на двучлен LaTeX formula: a+1

Запишем

или

, откуда $LaTeX formula: a_{1}=-1$ (этот корень уравнения был уже найден) и $LaTeX formula: a_{2,3}=2$ .

Поскольку $LaTeX formula: \sqrt{x+2}=a\geq 0$ , то $LaTeX formula: \sqrt{x+2}=2, x+2=4$ и LaTeX formula: x=2

Ответ:

Пример 11. Определите значение LaTeX formula: a

, при котором уравнение $LaTeX formula: (x+3a)\sqrt{x-4}=0$ имеет один корень.

Решение. Запишем ОДЗ: $LaTeX formula: x-4\geq 0\Leftrightarrow x\geq 4$ .

Найдем корни уравнения, решая совокупность уравнений $LaTeX formula: \sqrt{x-4}=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1}=4$ и LaTeX formula: x+3a=0

, откуда $LaTeX formula: x_{2}=-3a$ . Поскольку согласно условию задачи уравнение имеет один корень, то $LaTeX formula: x_{2}=-3a$ – посторонний корень, то есть он не принадлежит области допустимых значений уравнения. В таком случае LaTeX formula: -3a< 4

и $LaTeX formula: a> -\frac{4}{3}$ .

Ответ: $LaTeX formula: a> -\frac{4}{3}$ .

Пример 12. Найдите произведение корней уравнения $LaTeX formula: (\sqrt{x+1}+1)(2-\sqrt{2x+3})=-x$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0,& \\ 2x+3\geq 0;& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1, &\\ x\geq -1,5 ;& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq -1.$

Запишем уравнение в виде

$LaTeX formula: \sqrt{x+1}\cdot \sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}-2-x=0$

и разложим его левую часть на множители:

$LaTeX formula: \left (\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+3} \right )-(\sqrt{x+1}+1)-$ $LaTeX formula: (\sqrt{x+1}+x+1)=0,$
$LaTeX formula: \sqrt{2x+3}(\sqrt{x+1}+1)-(\sqrt{x+1}+1)-\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x+1})=0,$
$LaTeX formula: (1+\sqrt{x+1})(\sqrt{2x+3}-1-\sqrt{x+1}) =0.$

Поскольку $LaTeX formula: (\sqrt{x+1}+1)>0$ , то данное уравнение равносильно уравнению $LaTeX formula: \sqrt{2x+3}-1-\sqrt{x+1}=0$ или уравнению $LaTeX formula: \sqrt{2x+3}=1+\sqrt{x+1}$ , возводя обе части которого в квадрат, получим: $LaTeX formula: 2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1, x+1-2\sqrt{x+1}=0,$ $LaTeX formula: \sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}-2)=0.$

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=0$ , откуда LaTeX formula: x=-1

и $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=2$ , откуда LaTeX formula: x=3

Так как оба корня принадлежат области допустимых значений уравнения, то найдем их произведение: $LaTeX formula: -1\cdot 3=-3$ .

Ответ:

Пример 13. Решите уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+2\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=6$ .

Решение. Преобразуем выражения, записанные под знаками радикалов: $LaTeX formula: x-4\sqrt{x-4}=x-4-4\sqrt{x-4}+4=(\sqrt{x-4}-2)^2;$

$LaTeX formula: x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4=(\sqrt{x-4}+2)^2.$

Данное уравнение примет вид $LaTeX formula: \sqrt{\left (\sqrt{x-4}-2 \right )^2}+2\sqrt{\left (\sqrt{x-4}+2 \right )^2}=6$ или $LaTeX formula: \left |\sqrt{x-4}-2 \right |+2\left |\sqrt{x-4}+2 \right |=6$ .

Запишем ОДЗ уравнения: $LaTeX formula: x-4\geq 0\Leftrightarrow x\in \left [ 4;+\infty )$ .

Тогда $LaTeX formula: \left |\sqrt{x-4}+2 \right |=\sqrt{x-4}+2$ и получим $LaTeX formula: \left |\sqrt{x-4}-2| +2\left \sqrt{x-4}-2 =0$ . Решим это уравнение методом интервалов.

1. Найдем нули функции, стоящей под знаком модуля, решая уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x-4}-2=0$ , откуда LaTeX formula: x=8

2. Нанесем число LaTeX formula: x=8

на ОДЗ уравнения (рис. 5.4).

Рассмотрим полученные промежутки:

1) если $LaTeX formula: x\in \left [ 4;8 \right ]$ , то $LaTeX formula: \sqrt{x-4}-2<0$ , следовательно, $LaTeX formula: \left |\sqrt{x-4}-2 \right |=-\sqrt{x-4}+2$ и уравнение примет вид $LaTeX formula: -\sqrt{x-4}+2 +2\sqrt{x-4}-2=0$ или $LaTeX formula: \sqrt{x-4}=0$ , откуда LaTeX formula: x=4

;

2) если $LaTeX formula: x\in(8;+\infty )$ , то $LaTeX formula: \sqrt{x-4}-2>0$ , следовательно, $LaTeX formula: \left |\sqrt{x-4}-2 \right |=\sqrt{x-4}-2$ и уравнение примет вид $LaTeX formula: \sqrt{x-4}-2 +2\sqrt{x-4}-2=0$ или $LaTeX formula: \sqrt{x-4}=\frac{4}{3}$ , откуда $LaTeX formula: x=5\frac{7}{9}$ .

Число $LaTeX formula: 5\frac{7}{9}$ не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Ответ:

Пример 14. Найдите произведение корней уравнения $LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{x+3}}{x}+\frac{\sqrt[3]{x+3}}{3}=\frac{16\sqrt[3]{x}}{3}$ .

Решение. Запишем уравнение в виде $LaTeX formula: \frac{(x+3)^{\frac{1}{3}}}{x}+\frac{(x+3)^{\frac{1}{3}}}{3}=\frac{16x^{\frac{1}{3}}}{3}$ и умножим обе его части на выражение $LaTeX formula: 3x\neq 0$ . Получим: $LaTeX formula: 3(x+3)^{\frac{1}{3}}+x(x+3)^{\frac{1}{3}}=16x^{\frac{4}{3}}, (x+3)^{\frac{1}{3}}(x+3)=16x^{\frac{4}{3}},$ $LaTeX formula: (x+3)^{\frac{4}{3}}=2^4x^{\frac{4}{3}} , (x+3)^4=2^{12}x^4.$

Тогда

, откуда $LaTeX formula: x=\frac{3}{7}$ или LaTeX formula: x+3=-8x

, откуда $LaTeX formula: x=-\frac{1}{3}$ .

Найдем произведение корней уравнения: $LaTeX formula: -\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{7}=-\frac{1}{7}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{1}{7}$ .

При решении иррациональных уравнений важно знать следующее:

1) Прежде, чем начинать решать иррациональное уравнение, можно записать систему неравенств, задающих его область определения, и (если это не сложно) решить ее, а затем на этом множестве выполнять равносильные преобразования уравнения с учетом часто вновь возникающих ограничений на переменную.

2) Если же систему неравенств, задающих область определения уравнения, не решать, то необходимо проверкой убедиться в том, что полученные значения переменной удовлетворяют каждому из неравенств системы.

3) Можно и не находить область определения уравнения, а выполнить проверку полученных в результате его решения значений переменной непосредственной подстановкой их в исходное уравнение.

4) Нередки случаи, когда уже по области определения уравнения можно судить о его решении, например, если область определения состоит из одного или нескольких чисел или если область определения есть пустое множество.

5) Чтобы избежать длинных выкладок прежде, чем приступить к решению иррациональных уравнений, полезно дать ответ на вопрос «Можно ли решить данное уравнение, используя свойство монотонных функций?».

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_5_иррациональные_уравнения

Иррациональные уравнения