Функцией 
называют такую зависимость переменной 
от переменной 
, при которой каждому допустимому значению соответствует
единственное значение .
Переменную называют независимой переменной или
аргументом функции, а переменную – зависимой от переменной или значением функции.
называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида 
. График функции представляет собой некоторую линию на плоскости. образуют
область определения
функции. Множество всех допустимых значений переменной
образуют
область значений функции. 
, а область значений функции обозначают 
. 1) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.1, является множество всех действительных чисел и область значений этой функции – множество всех действительных чисел;
2) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.2, является множество всех действительных чисел, а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку
.
возрастает
на промежутке 
, если для любых 
и 
, принадлежащих промежутку , из неравенства 
следует неравенство 
(рис. 2.3). 
убывает на промежутке 
, если для любых 
и 
, принадлежащих промежутку , из неравенства 
следует неравенство 
(рис. 2.4).
1) функция, график которой изображен на рисунке 2.1, монотонна, так как она возрастает на множестве всех действительных чисел;
2) функция, график которой изображен на рисунке 2.2 не монотонна, так как на промежутке
![LaTeX formula: (-\infty ;a]](/uploads/formulas/7ded99d9c9ab77dae8e41675c495eac84a98e89b.1.1.png "(-\infty ;a]")
она убывает, а на промежутке 
– возрастает., при которых выполняется равенство 
, называют нулями функции. Н а п р и м е р, числа
, 
, 
и 
– нули функции, график которой изображен на рисунке 2.5.
Н а п р и м е р, функция, график которой изображен на рисунке 2.5, на промежутках
и 
принимает положительные значения, а на промежутках 
, 
и 
ее значения отрицательны.
(начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит пары противоположных чисел. Н а п р и м е р, числовые множества
, ![LaTeX formula: [-2,5;2,5]](/uploads/formulas/3616c0ccccbb3cba51759a07b146a0f3ddc95f7b.1.1.png "[-2,5;2,5]")
, 
– симметричные, а множества 
и 
– несимметричные. Функция называется четной, если – симметричное множество относительно начала отсчета и 
.
Функция называется
нечетной, если – симметричное множество относительно начала отсчета и 
.
Н а п р и м е р:
1) функция 
четная, так как 
и 
;
2) функция 
не является четной и не является нечетной (общего вида), так как 
и 
ни при одном значении переменной .
График четной функции симметричен относительно оси 
, а график нечетной функции симметричен относительно точки 
.
называется периодической,
если существует такое число 
, при котором для всех из области определения функции выполняется равенство 
. 
, 
, 
и 
являются периодическими.
и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо.
обратима (имеет обратную функцию), если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения. 
называется
обратной
к функции , если в каждой точке области значений обратимой функции 
она принимает такое значение , что 
. и образуют пару взаимно обратных функций. является областью значений функции , а область значений функции является областью определения функции , т. е.
, 
; монотонно возрастает (убывает), то и функция возрастает (убывает); 
.Н а п р и м е р, функции 
и 
(рис. 2.6) взаимно обратные.
Чтобы найти функцию , обратную к функции , необходимо решить уравнение относительно переменной и в этом уравнении заменить на , а заменить на .
Пример 1.
Найдите количество всех целых чисел из области значений функции
, которые она принимает на промежутке 
.
Решение . Запишем функцию в виде:
, откуда 
.
1. Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения:
, откуда 
и 
, откуда 
.
2. Нанесем числа 
и 
на интервал (рис. 2.7) и раскроем модули на полученных промежутках:
1) если ![LaTeX formula: x\in (-3;-1]](/uploads/formulas/0604634a849d375ffcb580e5822f524c1723922f.1.1.png "x\in (-3;-1]")
, то 
или 
;
2) если![LaTeX formula: x\in (-1;1]](/uploads/formulas/ca151a2ac9be1e4eda7d46485d63967e21e265fa.1.1.png "x\in (-1;1]")
, то 
или 
;
3) если 
, то 
или 
.
Запишем область значений функции на промежутке
: 
. Промежутку
принадлежит шесть целых чисел: 
, 
, 
, 
, 
, 
. Ответ:
.
![LaTeX formula: f(x)=15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\log_{5}\left | x \right |](/uploads/formulas/7bc640c17ab15a6a281b3ce0b9a77864d60fe83d.1.1.png "f(x)=15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\log_{5}\left | x \right |")
, а ось ординат является для него серединным перпендикуляром. Решение. Рассмотрим отрезок
, который пересекает ось ординат в точке 
, а концы его лежат на графике функции (рис. 2.8). Так как ось ординат является серединным перпендикуляром отрезка
, то 
и 
. Следовательно, справедливо равенство
.
![LaTeX formula: 15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right |=15\left | x \right |^{51}-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right |](/uploads/formulas/275143e273ba7efa5e7efa9deb7027314851d853.1.1.png "15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right |=15\left | x \right |^{51}-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right |")
.: ![LaTeX formula: \sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}=-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x}](/uploads/formulas/a83b2aa7f2bcfeea8f2cd9ade5de25a87bca174e.1.1.png "\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}=-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x}")
, ![LaTeX formula: 2\sqrt[3]{x}=\frac{2\cdot 16}{x}](/uploads/formulas/1a33a540459ecc9d171dc6df704d7c9ae22bcebe.1.1.png "2\sqrt[3]{x}=\frac{2\cdot 16}{x}")
, ![LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=\frac{ 16}{x}](/uploads/formulas/95ea42fda43d4e2b9c6c386080d4a0e4818bd278.1.1.png "\sqrt[3]{x}=\frac{ 16}{x}")
, 
, 
, 
. Найдем длину отрезка
:
. Ответ:
. и , является функцией. Н а п р и м е р, на рисунке 2.9 изображен график некоторой функции (каждому значению соответствует единственное значение ).
Н а п р и м е р, на рисунке 2.10 изображена линия, которая не является графиком никакой функции (показано, что одному значению соответствуют два значения ).
