Тела вращения /qualihelpy

Тела вращения

Справочник / Абитуриент / Стереометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Телом вращения называют пространственную фигуру, полученную в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси.
Среди всех тел вращения выделяют цилиндр, конус и шар.

1. Цилиндр

Цилиндром называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон (оси цилиндра).
Образующей цилиндра называют отрезок, соединяющий точки окружностей оснований цилиндра, и перпендикулярный диаметрам его оснований.
Высотой цилиндра называют перпендикуляр, заключенный между основаниями цилиндра.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.66 прямая LaTeX formula: OO_1

– ось вращения; LaTeX formula: OO_1=h

– высота,

– образующая цилиндра, полученного вращением прямоугольника LaTeX formula: OO_1CD

вокруг стороны LaTeX formula: OO_1

. Основание цилиндра – круг радиуса LaTeX formula: OD

. Прямоугольник LaTeX formula: ABCD

– осевое сечение цилиндра.

Объем цилиндра высоты LaTeX formula: h

находят по формуле:
$LaTeX formula: V=S_{o.}\cdot h$ . (9.15)

Площадь основания цилиндра ( LaTeX formula: r

– радиус основания) находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{o.}=\pi r ^2$ . (9.16)

Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.17)

Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=2\pi r l$ , (9.18)
где LaTeX formula: r

– радиус основания, LaTeX formula: h

– высота,

– образующая цилиндра.

2. Конус

Конусом называют фигуру, полученную в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов (оси конуса).
Образующей конуса называют отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания конуса.
Высотой конуса называют перпендикуляр, соединяющий вершину конуса с центром его основания.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.67 прямая LaTeX formula: OB

– ось вращения; LaTeX formula: OB=h

– высота конуса, LaTeX formula: l

– образующая конуса, $LaTeX formula: \triangle ABC$ – осевое сечение конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника LaTeX formula: OBC

вокруг катета LaTeX formula: OB

Усеченным конусом называют часть конуса, ограниченную его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.68 изображен усеченный конус.

Объем конуса высоты LaTeX formula: h

находят по формуле:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.}\cdot h$ . (9.19)

Площадь основания конуса ( LaTeX formula: r

– радиус основания) находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{o.}=\pi r^2$ . (9.20)

Площадь поверхности конуса находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.21)

Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi r l$ , (9.22)
где LaTeX formula: r

– радиус основания, LaTeX formula: l

– образующая конуса.

Объем усеченного конуса находят по формуле:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi h(r^2_1+r^2_2+r_1r_2)$ , (9.23)
где LaTeX formula: r_1

– радиусы оснований, LaTeX formula: h

– высота.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi (r_1+r_2)l$ , (9.24)
где LaTeX formula: r_1

– радиусы оснований, LaTeX formula: h

– высота,

– образующая усеченного конуса.

3. Шар и сфера

Сферой называют фигуру, полученную в результате вращения полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 9.69).

Шаром называют фигуру, полученную вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сечение сферы плоскостью – окружность. Сечение шара плоскостью – круг.
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом (на рисунке 9.69 круг с центром в точке LaTeX formula: O

и радиусом LaTeX formula: R

Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку (на рисунке 9.69 плоскость $LaTeX formula: \alpha$ ).
Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости (на рисунке 9.69 точка LaTeX formula: A

).
Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы в точке касания.

Площадь сферы радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{c\phi .}=4\pi R^2$ . (9.25)

Объем шара радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:
$LaTeX formula: V_{wapa}=\frac{4}{3}\pi R^3$ . (9.26)

Выпуклый многоугольник вписан в сферу, если все его вершины лежат на поверхности сферы, и описан около сферы, если все его стороны касаются поверхности сферы.

Сферическим (шаровым) сегментом называют часть сферы (шара), отсекаемую плоскостью.
Высотой LaTeX formula: h

шарового сегмента называют длину отрезка диаметра, перпендикулярного основанию шарового сегмента, расположенного между этим основанием и сферой (на рис. 9.70 LaTeX formula: AB=h

Шаровым сектором называют тело, полученное вращением кругового сектора вокруг одного из ограничивающих круговой сектор радиусов.
Высотой шарового сектора называют высоту части его сферической поверхности.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.70 шаровой сектор получен в результате вращения кругового сектора вокруг радиуса LaTeX formula: OA

Объем шарового сегмента находят по формуле:
$LaTeX formula: V_{c.}=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)$ . (9.27)

Площадь сферической поверхности находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh$ , (9.28)
где LaTeX formula: R

– радиус шара; LaTeX formula: h

– высота сегмента.

Объем шарового сектора находят по формуле:
$LaTeX formula: V_{ce\kappa .}=\frac{2}{3}\pi R^2h$ , (9.29)
где LaTeX formula: R

– радиус шара; LaTeX formula: h

– высота сегмента.

Пример 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной LaTeX formula: a

. Найдите объем и площадь поверхности цилиндра.

Решение. Так как осевое сечение квадрат (рис. 9.71), то LaTeX formula: l=h=a

, $LaTeX formula: r=\frac{a}{2}$ .
По формулам 9.15 и 9.16 найдем объем цилиндра:
$LaTeX formula: V=\pi \cdot \frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{4}$ .
По формулам 9.16 , 9.17 и 9.18 найдем площадь поверхности цилиндра:
$LaTeX formula: S_{n.}=\frac{2\pi a^2}{4}+\frac{2\pi a^2}{2}=\frac{3\pi a^2}{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 0,25\pi a^3$ ; $LaTeX formula: 1,5\pi a^2$ .

Пример 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна LaTeX formula: 119

, а объем его равен $LaTeX formula: 7\pi$ . Найдите высоту этого цилиндра.

Решение. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра найдем по формулам 9.18 и 9.15 , где LaTeX formula: R

– радиус основания, LaTeX formula: h

– высота цилиндра.
Тогда согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: \begin{cases} 2\pi Rh=119, \\ \pi R^2h=7\pi. \end{cases}$
Разделим первое уравнение системы на второе и получим:
$LaTeX formula: \frac{2\pi Rh}{\pi R^2h}=\frac{119}{7\pi }$ , $LaTeX formula: \frac{2}{R}=\frac{17}{\pi }$ , $LaTeX formula: R=\frac{2\pi }{17}$ .

Найдем

из первого уравнения системы:
$LaTeX formula: h=\frac{119}{2\pi R}=\frac{119\cdot 17}{2\pi \cdot 2\pi }=\frac{2023}{4\pi ^2}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{2023}{4\pi ^2}$ .

Пример 3. Найдите объем и площадь поверхности конуса, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной $LaTeX formula: 2\sqrt{3}$ см (рис. 9.72).

Решение. Так как $LaTeX formula: l=2\sqrt{3}$ см, а $LaTeX formula: r=\sqrt{3}$ см, то из теоремы Пифагора:
$LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-r^2}$ , $LaTeX formula: h=\sqrt{12-3}=3$ (см).
По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 3\cdot 3=3\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).
По формулам 9.20 , 9.21 и 9.22 найдем площадь поверхности конуса:
$LaTeX formula: S_{n.}=3\pi +6\pi =9\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).
Ответ: $LaTeX formula: 3\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ; $LaTeX formula: 9\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

Пример 4. Радиус основания конуса равен $LaTeX formula: \sqrt{15}$ , а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен $LaTeX formula: 90^{\circ}$ . Определите объем конуса.

Решение. Рассмотрим конус радиуса $LaTeX formula: r=\sqrt{15}$ и развертку его боковой поверхности – круговой сектор радиуса LaTeX formula: l

(рис. 9.73).
Найдем длину окружности в основании конуса:
$LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=2\pi r=2\sqrt{15}\pi$ .
Найдем длину дуги в развертке боковой поверхности конуса:
$LaTeX formula: C_{g.}=\frac{2\pi l}{360^{\circ}}\cdot 90^{\circ}=\frac{\pi l}{2}$ .
Так как $LaTeX formula: C_{o\kappa p.}=C_{g.}$ , то $LaTeX formula: 2\pi r=\frac{\pi l}{2}$ и $LaTeX formula: l=4r=4\sqrt{15}$ .
Из теоремы Пифагора:
LaTeX formula: h^2=l^2-r^2

, $LaTeX formula: h=\sqrt{16\cdot 15-15}=15$ .
По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 15\cdot 15=75\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 75\pi$ .

Пример 5. Осевое сечение конуса – равнобокая трапеция с основаниями LaTeX formula: 4

. Образующая конуса равна LaTeX formula: 8

. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.

Решение. Имеем усеченный конус (рис. 9.74), радиусы оснований которого соответственно равны LaTeX formula: 8

.
Зная образующую конуса LaTeX formula: l=8

, найдем его высоту:
$LaTeX formula: h=\sqrt{l^2-(r_1-r_2)^2}$ , $LaTeX formula: h=\sqrt{64-36}=2\sqrt{7}$ .
По формуле 9.24 найдем площадь боковой поверхности конуса:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=20\sqrt{7}\pi$ .
По формуле 9.23 найдем объем конуса:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi 2\sqrt{7}(64+4+16)=56\sqrt{7}\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 20\sqrt{7}\pi$ ; $LaTeX formula: 56\sqrt{7}\pi$ .

Пример 6. Периметр правильного шестиугольника, все вершины которого лежат на поверхности шара, равен LaTeX formula: 12

. Объем шара равен $LaTeX formula: 36\pi$ . Найдите расстояние от центра шара до плоскости шестиугольника.

Решение. Найдем сторону правильного шестиугольника, зная его периметр:
LaTeX formula: a=12:6=2

.
Так как радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне, то на рисунке 9.75 LaTeX formula: r=2

.
Объем шара находят по формуле 9.26 .
Так как $LaTeX formula: V=36\pi$ , то $LaTeX formula: 36\pi =\frac{4}{3}\pi R^3$ , $LaTeX formula: 9=\frac{1}{3}R^3$ , LaTeX formula: 27=R^3

.
Из теоремы Пифагора:
$LaTeX formula: d=\sqrt{R^2-r^2}$ , $LaTeX formula: d=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \sqrt{5}$ .

Пример 7. Сторона квадрата, описанного около шара, равна LaTeX formula: 4

. Найдите площадь сферической поверхности, отсекаемой плоскостью квадрата от шара, если радиус шара равен LaTeX formula: 5

(рис. 9.76).

Решение. 1. Найдем диагональ квадрата, зная его сторону:
LaTeX formula: d^2=16+16=32

, $LaTeX formula: d=4\sqrt{2}$ .
Поскольку сечение шара плоскостью – круг, а квадрат описан около этого круга, то радиус сечения равен:
$LaTeX formula: r=\frac{d}{2}$ , $LaTeX formula: r=2\sqrt{2}$ .
2. Из теоремы Пифагора:
$LaTeX formula: l=\sqrt{R^2-r^2}$ , $LaTeX formula: l=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}$ .
3. Найдем высоту сферической поверхности:
LaTeX formula: h=R-l

, $LaTeX formula: h=5-\sqrt{17}$ .
4. По формуле 9.28 найдем площадь сферической поверхности:
$LaTeX formula: S_{n.}=2\pi Rh$ , $LaTeX formula: S_{n.}=10\pi (5-\sqrt{17})$ .
Ответ: $LaTeX formula: 10\pi (5-\sqrt{17})$ .

Пример 8. Равнобедренная трапеция с основаниями LaTeX formula: 12

см и

см и острым углом $LaTeX formula: 60^{\circ}$ вращается вокруг меньшего основания. Вычислите поверхность полученной фигуры вращения.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD

с основаниями:
LaTeX formula: BC=12

см и

см (рис. 9.77).
Вращая трапецию вокруг основания LaTeX formula: BC

, получим тело, боковая поверхность которого состоит из боковой поверхности цилиндра и боковой поверхности двух равных конусов:
$LaTeX formula: S_{n.}=S_{\delta .}+2S_{\delta .\kappa .}$ .
В трапеции LaTeX formula: ABCD

из вершин

проведем высоты LaTeX formula: BN

.
Тогда $LaTeX formula: BN=CM=R_{v.}=R_{\kappa .}=h_{mp.}$ .
Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABN

:
$LaTeX formula: \angle BAN=60^{\circ}$ , $LaTeX formula: AN=\frac{1}{2}(AD-NM)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$ (см),

тогда

(см) и $LaTeX formula: BN=\sqrt{1^2-\left ( \frac{1}{2} \right )^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (см).
Согласно формуле $LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi R_{v.}l_{v.}$ получим:
$LaTeX formula: S_{\delta .v.}=2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 13=13\sqrt{3}\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).
Согласно формуле $LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi R_{\kappa .}l_{\kappa .}$ получим:
$LaTeX formula: S_{\delta .\kappa .}=\pi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).
Найдем площадь поверхности тела вращения:
$LaTeX formula: S_{n.}=13\sqrt{3}\pi +2\cdot \frac{\sqrt{3}\pi }{2}=14\sqrt{3}\pi$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).
Ответ: $LaTeX formula: 14\sqrt{3}\pi$ $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

1. В цилиндре умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

2. В конусе умейте определять: радиус основания, высоту, образующую, осевое сечение.

3. Различайте шар и сферу (поверхность шара).
Умейте определять:
1) центр, радиус и диаметр сферы;
2) в шаре: центр, радиус, диаметр, сечение, шаровой сегмент и шаровой сектор.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_и_цилиндр m_2_и_конус m_3_и_сфера m_4_шар

Тела вращения