Пирамида /qualihelpy

Пирамида

Справочник / Абитуриент / Стереометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной.
Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.
Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида LaTeX formula: SABCD

с вершиной в точке LaTeX formula: S

. Четырехугольник LaTeX formula: ABCD

– основание пирамиды, треугольники LaTeX formula: SAB

– ее боковые грани. Отрезки LaTeX formula: SA

– боковые ребра пирамиды. Отрезок LaTeX formula: SO

– высота пирамиды.

1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.

2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды.

Объем пирамиды высоты LaTeX formula: h

находят по формуле:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.} \cdot h$ , (9.11)

Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.12)

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают).
Н а п р и м е р, на рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.

Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.54 отрезок LaTeX formula: SP

– апофема правильной четырехугольной пирамиды.

Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=\frac{1}{2}P_{o.} \cdot h_{\delta .}$ , (9.13)
где $LaTeX formula: h_{\delta .}$ – апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды находят по формуле:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$ , (9.14)
где LaTeX formula: S_1

– площади оснований, LaTeX formula: h

– высота усеченной пирамиды.

Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной LaTeX formula: 2

дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна $LaTeX formula: \sqrt{3}$ дм.

Решение. Так как две боковые грани LaTeX formula: ABS

пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро LaTeX formula: SB

является высотой пирамиды.
Площадь основания пирамиды найдем по формуле:
$LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$ . Получим: $LaTeX formula: S=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{\partial M}\\^3$ ).

Объем пирамиды найдем по формуле 9.11 .
Получим: $LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1$ ( $LaTeX formula: _{\partial M}\\^3$ ).
Ответ: LaTeX formula: 1

$LaTeX formula: _{\partial M}\\^3$ .

Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным LaTeX formula: a

Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника LaTeX formula: ABC

: точку

, точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника.
Тогда $LaTeX formula: OA=\frac{a }{\sqrt{3}}$ – радиус окружности, описанной около $LaTeX formula: \triangle ABC$ ; LaTeX formula: DO=h

– высота тетраэдра.
Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник LaTeX formula: AOD

.
Из теоремы Пифагора:
LaTeX formula: OD^2=AD^2-AO^2

, $LaTeX formula: h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$ .
Объем тетраэдра вычислим по формуле 9.11 , где $LaTeX formula: S_{o.}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$ .
Запишем: $LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}a^3}{12}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}a^3}{12}$ .

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной LaTeX formula: c

, и острым углом $LaTeX formula: 30^{\circ}$ . Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 60^{\circ}$ . Найдите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды является треугольник LaTeX formula: ABC

:
$LaTeX formula: \angle C=90^{\circ}$ ; LaTeX formula: AB=c

(рис. 9.61).
Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка LaTeX formula: O

).
Тогда $LaTeX formula: AO=R=\frac{c}{2}$ и высота пирамиды LaTeX formula: h=SO

Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: SAO

.
Угол

является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок LaTeX formula: AO

– проекция ребра LaTeX formula: AS

на плоскость основания и $LaTeX formula: \angle SAO=60^{\circ}$ .
Тогда $LaTeX formula: \textrm{tg}60^{\circ}=\frac{SO}{AO}$ и $LaTeX formula: SO=\frac{\sqrt{3}c}{2}=h$ .

Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC

:
$LaTeX formula: CB=\frac{c}{2}$ по свойству катета, лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{\circ}$ ; $LaTeX formula: \angle B=60^{\circ}$ .

Найдем площадь треугольника:
$LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CB\cdot \sin\angle B$ , $LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}c\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}c^2}{8}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}c^2}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{c^3}{16}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{c^3}{16}$ .

Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами LaTeX formula: 5

см,

см и

см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по $LaTeX formula: 45^{\circ}$ . Определите объем пирамиды.

Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник LaTeX formula: ABC

см,

см.
Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник LaTeX formula: ABC

, то есть в точку LaTeX formula: O

, лежащую на высоте LaTeX formula: BK

этого треугольника.

Тогда

см;

, где

– радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и $LaTeX formula: r=\frac{2S}{a+b+c}$ .

Площадь треугольника LaTeX formula: ABC

найдем по формуле Герона^
$LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $LaTeX formula: p=\frac{5+6+6}{2}=8,5$ (см) и $LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\sqrt{8,5\cdot (8,5-5)(8,5-6)^2}=\frac{5\sqrt{119}}{4}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).

Следовательно, $LaTeX formula: r=\frac{5\sqrt{119}}{2\cdot 17}=\frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}}$ (см).

Угол

– линейный угол двугранного угла LaTeX formula: SACB

, так как $LaTeX formula: BK\perp AC$ и $LaTeX formula: SK\perp AC$ , и согласно условию задачи $LaTeX formula: \angle SKB=45^{\circ}$ .
Значит, треугольник LaTeX formula: SOK

равнобедренный и $LaTeX formula: h=r=\frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}}$ (см).

Согласно формуле 9.11 найдем объем пирамиды:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{119}}{4}\cdot \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}}=\frac{25\cdot 7}{24}=\frac{175}{24}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: \frac{175}{24}$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ .

Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна $LaTeX formula: \sqrt{3}$ и образует с высотой пирамиды угол $LaTeX formula: 30^{\circ}$ . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник LaTeX formula: ABCD

– квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники.
Точка LaTeX formula: O

– центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно, $LaTeX formula: OP=r=\frac{DC}{2}$ .
Поскольку $LaTeX formula: \angle SOP=90^{\circ}$ , а $LaTeX formula: \angle PSO=30^{\circ}$ , то $LaTeX formula: OP=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , тогда $LaTeX formula: DC=\sqrt{3}$ .
По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6$ .
Ответ: LaTeX formula: 6

Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом $LaTeX formula: 30^{\circ}$ и стороной, равной

. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное $LaTeX formula: \sqrt{3}$ .

Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка LaTeX formula: O

) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64).
По формуле $LaTeX formula: S=a^2sin\alpha$ найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=3^2\sin30^{\circ}=\frac{9}{2}$ .
С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле:
LaTeX formula: S=ah

, откуда $LaTeX formula: h=\frac{S}{a}$ , $LaTeX formula: h=\frac{9}{2\cdot 3}=\frac{3}{2}$ .Тогда $LaTeX formula: OP=\frac{h}{2}=\frac{3}{4}$ .
Из теоремы Пифагора:
$LaTeX formula: OS=\sqrt{SP^2-OP^2}$ , $LaTeX formula: OS=\sqrt{3-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{39}}{4}$ .

По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{\sqrt{39}}{4}=\frac{3\sqrt{39}}{8}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{3\sqrt{39}}{8}$ .

Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $LaTeX formula: 45^{\circ}$ , а длины ребер оснований соответственно равны LaTeX formula: 2

см и

см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды.

Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами LaTeX formula: 2

см, то их площади соответственно равны:
LaTeX formula: S_1=2^2=4

$LaTeX formula: _{CM}\\^2$ , LaTeX formula: S_2=4^2=16

$LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов:
$LaTeX formula: AD=\sqrt{16+16}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2}$ (см),
$LaTeX formula: BC=\sqrt{4+4}=\sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2}$ (см).

Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то
$LaTeX formula: OD=2\sqrt{2}$ см, а $LaTeX formula: NC=\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию LaTeX formula: ABCD

.
Так как LaTeX formula: MO=CP

, то имеем прямоугольник LaTeX formula: ONCP

, в котором LaTeX formula: OP=NC

, а

.
Поскольку треугольник LaTeX formula: CPD

равнобедренный, то $LaTeX formula: PD=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ (см) и $LaTeX formula: PC=\sqrt{2}$ см. Следовательно, высота усеченной пирамиды $LaTeX formula: h=\sqrt{2}$ см.

По формуле 9.14 найдем объем пирамиды:
$LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2}(16+4+\sqrt{16\cdot 4})=\frac{\sqrt{2}}{3}(20+4\cdot 2)=\frac{28\sqrt{2}}{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: \frac{28\sqrt{2}}{3}$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ .

1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды.

2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр:

1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды;

2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

М_4_И_Пирамида

М_5_И_Тетраэдр

М_6_П_Треугольная_пирамида

М_7_П_Четырехугольная_пирамида