Призма /qualihelpy

Призма

Справочник / Абитуриент / Стереометрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Многогранник, две грани которого равные LaTeX formula: n

-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные LaTeX formula: n

граней – параллелограммы, называют LaTeX formula: n

-угольной призмой.

Два

-угольника называют основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями.
Стороны граней называют ребрами призмы, а концы ребер – вершинами призмы.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.41 изображена пятиугольная призма, на рисунке 9.42 – треугольная, а на рисунке 9.43 – четырехугольная.

Н а п р и м е р, на рисунке 9.42 треугольники LaTeX formula: ABC

– основания призмы LaTeX formula: ABCA_1B_1C_1

, параллелограммы LaTeX formula: AA_1C_1C

– боковые грани, отрезки LaTeX formula: AA_1

– боковые ребра, отрезки LaTeX formula: AB

– ребра оснований, точки LaTeX formula: A

– вершины призмы.

Если грани призмы не имеют общего ребра, то их называют противоположными, если грани имеют общее ребро, то – смежными.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.43 грани LaTeX formula: AA_1B_1B

, а также

являются противоположными, а, например, грани LaTeX formula: AA_1B_1B

– смежными.

Две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называют противоположными.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.43 вершины LaTeX formula: A

– противоположные.

Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины (например, диагональ LaTeX formula: d

на рисунке 9.41).

Треугольная призма не имеет противоположных граней, не имеет противоположных вершин и не имеет диагоналей.

Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям ее оснований (рис. 9.42). Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Наклонной призмой называют призму, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям ее оснований (рис. 9.41 и 9.43).
Боковые грани наклонной призмы – параллелограммы (некоторые боковые грани могут быть и прямоугольниками).

Высотой призмы называют перпендикуляр, заключенный между основаниями призмы.
Высота LaTeX formula: h

прямой призмы равна длине ее бокового ребра (рис. 9.42), высота LaTeX formula: h

наклонной призмы – не равна (рис. 9.41 и 9.43).

Диагональным сечением призмы называют сечение, содержащее диагональ призмы.
Н а п р и м е р, на рисунке 9.44 построены диагональные сечения LaTeX formula: AA_1C_1C

четырехугольной призмы LaTeX formula: ABCDA_1B_1C_1D_1

Параллелепипедом называют призму, основание которой – параллелограмм (рис. 9.44).

Прямым параллелепипедом называют параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям его оснований (рис. 9.45).

Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник.
На рисунке 9.46 изображен прямоугольный параллелепипед.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
LaTeX formula: d^2=a^2+b^2+c^2

, (9.1)
где LaTeX formula: a

– длины ребер, выходящих из одной вершины, LaTeX formula: d

– диагональ параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле:
LaTeX formula: V=abc

. (9.2)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Все грани куба – квадраты (рис. 9.47).

Объем куба с ребром LaTeX formula: a

находят по формуле:
LaTeX formula: V=a^3

. (9.3)

Площадь поверхности куба с ребром LaTeX formula: a

находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=6a^2$ . (9.4)

Диагональ куба с ребром а находят по формуле:
LaTeX formula: d^2=3a^2

. (9.5)

Объем прямой призмы высоты LaTeX formula: h

и периметром основания LaTeX formula: P

находят по формуле:
$LaTeX formula: V=S_{o.} \cdot h$ . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ . (9.7)

Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты LaTeX formula: h

и периметром основания LaTeX formula: P

находят по формуле:
$LaTeX formula: S_{\delta .}=P_{o.} \cdot h$ . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: V=S_{o.} \cdot h$ . (9.9)

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формулам:
$LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .}$ , (9.10)
$LaTeX formula: V=S_{c.} \cdot l$ , (9.9.1)
$LaTeX formula: S_{\delta.}=P_{c.} \cdot l$ , (9.10.1)
где $LaTeX formula: \triangle PNK$ сечение, перпендикулярное ребру LaTeX formula: l

(рис. 9.48).

Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник.

Пример 1. Найдите объем и площадь поверхности куба, зная, что его диагональ LaTeX formula: d=6

см.

Решение. Согласно формуле 9.5 LaTeX formula: 36=3a^2

и $LaTeX formula: a=2\sqrt{3}$ см.
По формуле 9.3 $LaTeX formula: V=(2\sqrt{3})^2=24\sqrt{3}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).
По формуле 9.4 $LaTeX formula: S_{n.}=6 \cdot (2\sqrt{3})^2=72$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).
Ответ: $LaTeX formula: 24\sqrt{3}$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ; LaTeX formula: 72

$LaTeX formula: _{CM}\\^2$ .

Пример 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна $LaTeX formula: 2\sqrt{19}$ , а его измерения относятся как LaTeX formula: 2:3:5

.
Решение. Согласно условию задачи запишем измерения параллелепипеда:
LaTeX formula: a=2k

Согласно свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда 9.1, получим:
$LaTeX formula: 4k^2+9k^2+25k^2=4 \cdot 19$ , $LaTeX formula: 38k^2=4 \cdot 19$ , откуда $LaTeX formula: k=\sqrt{2}$ .
Тогда $LaTeX formula: a=2\sqrt{2}$ , $LaTeX formula: b=3\sqrt{2}$ , $LaTeX formula: c=5\sqrt{2}$ .

Зная три измерения параллелепипеда, по формуле 9.2 найдем его объем:
$LaTeX formula: V=2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}=60\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 60\sqrt{2}$ .

Пример 3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами LaTeX formula: 10

см и

см. Высота призмы равна LaTeX formula: 6

см. Найдите площадь поверхности и объем призмы.

Решение. 1. Площадь треугольника с катетами LaTeX formula: a

найдем по формуле $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ab$ .
Получим: $LaTeX formula: S=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8=40$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

2. Гипотенузу LaTeX formula: c

найдем по теореме Пифагора:
$LaTeX formula: c=\sqrt{100+64}=2\sqrt{41}$ (см).

3. Площадь боковой поверхности призмы найдем по формуле 9.8 :
$LaTeX formula: S_{\delta .}=(10+8+2\sqrt{41}) \cdot 8=16(9+\sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

4. Согласно формуле 9.7 , найдем площадь полной поверхности призмы:
$LaTeX formula: S_{n.}=2 \cdot 40+16(9+\sqrt{41})=16(14+\sqrt{41})$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ).

5. Объем призмы найдем по формуле 9.6 :
$LaTeX formula: V=40 \cdot 6=240$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).
Ответ: $LaTeX formula: 16(14+\sqrt{41})$ $LaTeX formula: _{CM}\\^2$ ; LaTeX formula: 240

$LaTeX formula: _{CM}\\^3$ .

Пример 4. Объем наклонной треугольной призмы равен LaTeX formula: 270

, а боковое ребро LaTeX formula: l=10

. Правильный треугольник LaTeX formula: PNK

– сечение, перпендикулярное боковому ребру LaTeX formula: l

(рис. 9.49). Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение. 1. Согласно формуле 9.9.1 запишем:
$LaTeX formula: 270=S_{c.} \cdot 10$ , откуда $LaTeX formula: S_{c.}=27$ .

2. Площадь правильного треугольника со стороной LaTeX formula: a

находят по формуле $LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$ .
Тогда $LaTeX formula: 27=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$ , $LaTeX formula: a^2=9\cdot 4\cdot \sqrt{3}$ , $LaTeX formula: a=6\sqrt[4]{3}$ .

3. Найдем периметр треугольника LaTeX formula: PNK

:
$LaTeX formula: P=3a=18\sqrt[4]{3}$ .

4. Согласно формуле 9.10.1 , найдем площадь боковой поверхности призмы:
$LaTeX formula: S_{\delta.}=18\sqrt[4]{3} \cdot 10=180\sqrt[4]{3}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 180\sqrt[4]{3}$ .

Пример 5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна LaTeX formula: 6

см, а диагонали его боковых граней равны LaTeX formula: 4

см и

см. Определите объем параллелепипеда.

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед (рис. 9.50), где LaTeX formula: a

его измерения; LaTeX formula: d=6

см – диагональ.
Согласно свойству 9.1 LaTeX formula: 6^2=a^2+b^2+c^2

.
Рассмотрим треугольник LaTeX formula: DCC_1

. Так как

см, то

.
Рассмотрим треугольник LaTeX formula: DAA_1

. Так как

см, то

Запишем и решим систему уравнений $LaTeX formula: \begin{cases} a^2+b^2+c^2=36, \\ b^2+c^2=16, \\ a^2+c^2=25 . \end{cases}$

Из второго уравнения системы выразим LaTeX formula: b^2

и получим: LaTeX formula: b^2=16-c^2

.
Из третьего уравнения выразим LaTeX formula: a^2

и получим: LaTeX formula: a^2=25-c^2

Подставим полученные значения LaTeX formula: a^2

в первое уравнение системы и найдем значение LaTeX formula: c

, $LaTeX formula: c=\sqrt{5}$ см.

Зная

, определим значения LaTeX formula: a

, $LaTeX formula: b=\sqrt{11}$ см;
LaTeX formula: a^2=25-5=20

, $LaTeX formula: a=2\sqrt{5}$ см.

Согласно формуле 9.2 найдем объем параллелепипеда:
$LaTeX formula: V=2\sqrt{5} \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{5}=10\sqrt{11}$ ( $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ ).

Ответ: $LaTeX formula: 10\sqrt{11}$ $LaTeX formula: _{CM}\\^3$ .

Пример 6. Определите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол $LaTeX formula: 30^{\circ}$ , а сторона основания равна LaTeX formula: 2

Решение. Согласно условию задачи основанием призмы является квадрат со стороной LaTeX formula: 2

(рис. 9.51).
Так как отрезок LaTeX formula: AB_1

является проекцией диагонали призмы LaTeX formula: DB_1

на грань

, то угол

является углом наклона диагонали призмы к плоскости боковой грани и $LaTeX formula: \angle AB_1D=30^{\circ}$ .

Рассмотрим треугольник LaTeX formula: AB_1D

. По свойству катета лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{\circ}$ запишем LaTeX formula: B_1D=4

Так как согласно свойству 9.1 диагонали прямоугольного параллелепипеда LaTeX formula: d^2=AD^2+AB^2+AA_1^2

, то

, $LaTeX formula: h=2\sqrt{2}$ .

Найдем объем призмы по формуле 9.9 :
$LaTeX formula: V=4 \cdot 2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 8\sqrt{2}$ .

Пример 7. Найдите объем правильной шестиугольной призмы (рис. 9.52), зная, что большая диагональ призмы равна LaTeX formula: 2

и образует с плоскостью основания призмы угол $LaTeX formula: 30^{\circ}$ .

Решение. Рассмотрим большее диагональное сечение призмы LaTeX formula: ABCD

и прямоугольный треугольник LaTeX formula: ACD

. Поскольку диагональ призмы LaTeX formula: AC=2

и образует с плоскостью основания угол $LaTeX formula: 30^{\circ}$ , то катет LaTeX formula: CD

, лежащий против угла $LaTeX formula: 30^{\circ}$ , равен половине гипотенузы, следовательно, высота призмы LaTeX formula: h=1

Из теоремы Пифагора:
LaTeX formula: AD^2=AC^2-CD^2

, $LaTeX formula: AD=\sqrt{3}$ .

Так как в основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной LaTeX formula: a

, то

и $LaTeX formula: a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

По формуле $LaTeX formula: S=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ найдем площадь основания призмы: $LaTeX formula: S_{o.}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$ .

По формуле 9.9 найдем объем призмы: $LaTeX formula: V=\frac{9\sqrt{3}}{8}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{9\sqrt{3}}{8}$ .

1. Треугольная призма не имеет диагоналей.

2. Различайте прямую и наклонную призму: у наклонной призмы – боковые грани параллелограммы, у прямой призмы – боковые грани прямоугольники.

3. Если основание призмы – параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат), то такую призму называют параллелепипедом. Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания М_2_И_Параллелепипед М_3_П_Параллелепипед