Вписанная и описанная окружность /qualihelpy

Вписанная и описанная окружность

Справочник / Абитуриент / Планиметрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.106 LaTeX formula: AD+BC=AB+DC

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.107 $LaTeX formula: \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$ .

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают LaTeX formula: R

, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают LaTeX formula: r

1) для равностороннего треугольника со стороной LaTeX formula: a

$LaTeX formula: R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ , (8.34) $LaTeX formula: r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$ ; (8.35)

2) для произвольного треугольника со сторонами LaTeX formula: a, b, c

и площадью LaTeX formula: S

$LaTeX formula: R=\frac{abc}{4S}$ , (8.36) $LaTeX formula: r=\frac{2S}{a+b+c}$ ; (8.37)

3) для прямоугольного треугольника с катетами LaTeX formula: a, b

и гипотенузой LaTeX formula: c

$LaTeX formula: R=\frac{c}{2}$ , (8.38) $LaTeX formula: r=\frac{a+b-c}{2}$ ; (8.39)

4) для квадрата со стороной LaTeX formula: a

и диагональю LaTeX formula: d

$LaTeX formula: R=\frac{d}{2}$ , (8.40) $LaTeX formula: r=\frac{a}{2}$ ; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю LaTeX formula: d

$LaTeX formula: R=\frac{d}{2}$ ; (8.42)

6) для ромба с высотой LaTeX formula: h

$LaTeX formula: r=\frac{h}{2}$ ; (8.43)

7) для трапеции с высотой LaTeX formula: h

, при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

$LaTeX formula: r=\frac{h}{2}$ . (8.44)

Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами LaTeX formula: a, b, c

и площадью LaTeX formula: S

, по формуле $LaTeX formula: R=\frac{abc}{4S}$ найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

8) для правильного шестиугольника со стороной LaTeX formula: a

, (8.45) $LaTeX formula: r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . (8.46)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка LaTeX formula: O

является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна $LaTeX formula: 2\pi -8$ .

Решение. Так как площадь круга радиуса LaTeX formula: r

находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной LaTeX formula: a

находят по формуле $LaTeX formula: S=a^{2}$ , то согласно условию задачи запишем:
$LaTeX formula: S_{\square }-S_{\bigcirc }=12$ , $LaTeX formula: \pi r^{2}-a^{2}=2\pi -8$ .

А так как $LaTeX formula: r=\frac{a}{2}$ , то
$LaTeX formula: \frac{\pi a^{2}}{4}-a^{2}=2\pi -8$ , $LaTeX formula: \pi a^{2}-4a^{2}=4(2\pi -8)$ , $LaTeX formula: a^{2}(\pi -4)=8(\pi -4)$ , $LaTeX formula: a^{2}=8$ , $LaTeX formula: a=2\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2\sqrt{2}$ .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами LaTeX formula: a

находят по формуле LaTeX formula: S=ab

.
Пусть

, тогда

(рис. 8.118).
Получим: LaTeX formula: x(x+3)=4

, $LaTeX formula: x^{2}+3x-4=0$ , откуда LaTeX formula: x=1

, следовательно, LaTeX formula: b=1

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника:
$LaTeX formula: d^{2}=1+16=17$ , $LaTeX formula: d=\sqrt{17}$ .
Согласно формуле 8.42 $LaTeX formula: R=0,5\sqrt{17}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 0,5\sqrt{17}$ .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):
$LaTeX formula: a^{2}=\left (\frac{d_{1}}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{d_{2}}{2} \right )^{2}$ , $LaTeX formula: a^{2}=3^{2}+4^{2}$ , LaTeX formula: a=5

По формуле $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}$ найдем площадь ромба:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$ .

Но площадь ромба можно найти и по формуле LaTeX formula: S=ah

, а так как LaTeX formula: h=2r

, то

.
Тогда

, а

.
Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна $LaTeX formula: 4\sqrt{3}$ .

Решение. Площадь правильного треугольника со стороной LaTeX formula: a

находят по формуле: $LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}$ .

Зная площадь треугольника, найдем его сторону:
$LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=4\sqrt{3}$ , $LaTeX formula: a^{2}=16$ , LaTeX formula: a=4

По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник:
$LaTeX formula: r=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

По формуле 8.30 найдем длину окружности:
$LaTeX formula: C=\frac{4\pi }{\sqrt{3}}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{4\sqrt{3}\pi }{3}$ .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой LaTeX formula: c

находят по формуле 8.38. Тогда LaTeX formula: c=2R=4

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты LaTeX formula: a

раны и по теореме Пифагора $LaTeX formula: c^{2}=2a^{2}$ , откуда
$LaTeX formula: a=\frac{C}{\sqrt{2}}$ , $LaTeX formula: a=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ .

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39.
$LaTeX formula: r=\frac{2a-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=\frac{4\sqrt{2}-4}{2}=2\sqrt{2}-2$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2\sqrt{2}-2$ .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC

. Точка

является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат LaTeX formula: ANOP

со стороной 3.
Если катет LaTeX formula: AC = 8

, а сторона квадрата LaTeX formula: AP=3

, то

Пусть отрезок LaTeX formula: NB = x

. По свойству касательных LaTeX formula: CP=CK=5

Тогда по теореме Пифагора
$LaTeX formula: BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$ или $LaTeX formula: 25+10x+x^{2}=64+9+6x+x^{2}$ , откуда LaTeX formula: 4x=48

Найдем катет LaTeX formula: AB

Найдем площадь треугольника:
$LaTeX formula: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB$ , $LaTeX formula: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60$ .
Ответ: 60.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: $LaTeX formula: \frac{6}{4}=\frac{x}{8}$ , откуда LaTeX formula: x=12

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона $LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ найдем площадь треугольника.

Так как

, то $LaTeX formula: S=\sqrt{15\cdot9\cdot3\cdot3}=9\sqrt{15}$ .

Тогда $LaTeX formula: r=\frac{18\sqrt{15}}{30}=\frac{3\sqrt{15}}{5}=0,6\sqrt{15}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 0,6\sqrt{15}$ .

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем:
LaTeX formula: CD=9

По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим:
LaTeX formula: AB+DC=BC+AD

Согласно формуле $LaTeX formula: S=\frac{1}{2}(a+b)h$ найдем площадь трапеции:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 6=45$ .
Ответ: 45.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как LaTeX formula: 5:12

, а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD

(рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции LaTeX formula: BD

Радиус окружности, описанной около треугольника LaTeX formula: ABD

, найдем по формуле 8.36:

$LaTeX formula: R=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4\cdot S_{\triangle ABD}}=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4\cdot \frac{1}{2}\cdot AD\cdot BN}$ , $LaTeX formula: R=\frac{AB\cdot BD}{2\cdot BN}$ .

Зная, что

и вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k

, получим

Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то
$LaTeX formula: \frac{1}{2}(5k +12k)=17$ , откуда LaTeX formula: k=2

. Тогда

Поскольку четырехугольник LaTeX formula: BCKN

является прямоугольником, то LaTeX formula: NK = 10

, тогда
$LaTeX formula: AN=KD=\frac{1}{2}(24-10)=7$ .

Согласно теореме Пифагора запишем:

$LaTeX formula: AB=\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}$ , $LaTeX formula: AB=\sqrt{17^{2}+7^{2}}=\sqrt{338}$ ;

$LaTeX formula: BD=\sqrt{BN^{2}+ND^{2}}$ , $LaTeX formula: BD=\sqrt{17^{2}+17^{2}}=17\sqrt{2}$ .

По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника LaTeX formula: ABD

, а, следовательно, и около трапеции LaTeX formula: ABCD

$LaTeX formula: R=\frac{\sqrt{338}\cdot 17\sqrt{2}}{2\cdot 17}=\frac{2\cdot 13}{2}=13$ .

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: $LaTeX formula: S=169\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 169\pi$ .

Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна $LaTeX formula: \sqrt{3}$ .

Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: $LaTeX formula: R=a=\sqrt{3}$ .

По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник.
Так как $LaTeX formula: a=\sqrt{3}$ , то $LaTeX formula: r=\frac{3}{2}$ .

Площадь круга находят по формуле 8.32.
Тогда $LaTeX formula: S_{1}=3\pi$ , а $LaTeX formula: S_{2}=\frac{9\pi}{4}$ .

Найдем площадь кольца:
$LaTeX formula: S_{K}=S_{1}-S_{2}$ , $LaTeX formula: S_{K}=3\pi -\frac{9\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 0,75\pi$ .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: C=2\pi R$ . (8.30)

Площадь круга радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: S=\pi R^{2}$ . (8.32)

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания
m_1_и_окружность_и_треугольник m_2_и_окружность_и_треугольник m_3_п_вписанная_окружность m_4_п_описанная_окружность m_5_и_окружность_и_четырехугольник m_6_п_квадрат_и_окружность m_7_и_правильный_шестиугольник

Вписанная окружность и круг