Окружность и круг /qualihelpy

Окружность и круг

Справочник / Абитуриент / Планиметрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности.
Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.83: точка LaTeX formula: O

– центр окружности; отрезки LaTeX formula: OA, OB

– радиусы окружности; отрезки LaTeX formula: AC, MN

– хорды окружности.

Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.83 $LaTeX formula: MN\perp OD$ , следовательно, LaTeX formula: MN=NP

Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности.
Диаметр состоит из двух радиусов.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.83 хорда LaTeX formula: AB

– диаметр окружности и LaTeX formula: AB = 2R

Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности.
Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.84 изображены дуги окружности: LaTeX formula: AB , BD , DC

и т.д. Среди них две равные полуокружности LaTeX formula: CD

Дуги можно измерять в угловых единицах. Градусная мера полуокружности равна $LaTeX formula: 180^{\circ}$ .

Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.85 изображен круг.

Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.86 изображен круговой сектор LaTeX formula: OAB

Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.87 изображен круговой сегмент LaTeX formula: ACB

Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.88 $LaTeX formula: AP \cdot BP= CP \cdot DP$ .

Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.89 из точки LaTeX formula: A

к окружности проведены касательные LaTeX formula: AB

Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными.
Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89).

Свойства касательных

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны ( LaTeX formula: AB=AC

на рис. 8.89).

2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания ( $LaTeX formula: OB\perp AB$ на рис. 8.89).

Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.90 LaTeX formula: AD

– касательная к окружности, LaTeX formula: AC

– хорда окружности,
$LaTeX formula: \angle DAC = \frac{1}{2}\angle AOC$ и $LaTeX formula: \angle DAC = \angle ABC$ .

Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.91 LaTeX formula: AC

– отрезок секущей, а LaTeX formula: AD

– внешняя часть отрезка секущей.

Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.91 $LaTeX formula: AB^{2}=AC\cdot AD$ .

Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.92 $LaTeX formula: OC\cdot OD=OB\cdot OA=a^{2}$ .

Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности.
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.93 изображен центральный угол LaTeX formula: AOB

Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.94 изображен вписанный в окружность угол LaTeX formula: ACB

Свойства вписанных в окружность углов

1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла.
Н а п р и м е р, $LaTeX formula: \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$ на рисунке 8.95.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).

3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).

Длину окружности радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: C=2\pi R$ . (8.30)

Длину дуги окружности радиуса LaTeX formula: R

c центральным углом $LaTeX formula: n^{\circ}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: l=\frac{2\pi R}{360^{\circ}}n^{\circ}$ . (8.31)

Площадь круга радиуса LaTeX formula: R

находят по формуле:

$LaTeX formula: S=\pi R^{2}$ . (8.32)

Площадь кругового сектора радиуса LaTeX formula: R

с центральным углом $LaTeX formula: n^{\circ}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}$ . (8.33)

Пример 1. К окружности (рис. 8.98) проведены три касательные так, что в результате их пересечения образовался прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC

. При этом отрезок LaTeX formula: AE = 4

см, а отрезок LaTeX formula: BE = 6

см. Найдите катеты этого треугольника.

Решение. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то:
LaTeX formula: AE = AD = 4

см,

см.
Пусть LaTeX formula: CD = CK = x

см, тогда

см,

см,

см.

По теореме Пифагора 8.3 $LaTeX formula: AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$ .
Тогда $LaTeX formula: (x+4)^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$ ,
$LaTeX formula: x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100$ ,
$LaTeX formula: x^{2}+10x-24=0$ , откуда LaTeX formula: x=2

Найдем катеты треугольника:
LaTeX formula: AC = 2+4 = 6

(см),

(см).
Ответ: 6 см и 8 см.

Пример 2. В окружность вписан угол LaTeX formula: ABC

, равный $LaTeX formula: 30^{\circ}$ . Хорды LaTeX formula: AB

соответственно равны 3 и $LaTeX formula: \sqrt{3}$ . Найдите длину окружности.

Решение. По теореме косинусов 8.4 найдем сторону LaTeX formula: AC

треугольника LaTeX formula: ABC

(рис. 8.99):
$LaTeX formula: AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cos30^{\circ}$ ,
$LaTeX formula: AC^{2}=9+3-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9+3-9=3$ ,
$LaTeX formula: AC = \sqrt{3}$ .

Так как угол LaTeX formula: ABC

вписан в окружность, а угол LaTeX formula: AOC

соответствующий ему центральный угол, то:
$LaTeX formula: \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC$ и $LaTeX formula: \angle AOC=60^{\circ}$ .
Отрезки LaTeX formula: OA

радиусы окружности.
Следовательно, треугольник LaTeX formula: AOC

– равнобедренный и углы при его основании равны:
$LaTeX formula: \angle OCA=\angle OAC=60^{\circ}$ .
Тогда треугольник LaTeX formula: AOC

– равносторонний и $LaTeX formula: AO=OC=AC=\sqrt{3}$ .
Длину окружности найдем по формуле 8.30. Получим: $LaTeX formula: C=2\sqrt{3}\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2\sqrt{3}\pi$ .

Пример 3. Прямой угол LaTeX formula: ABC

вписан в окружность, радиус которой равен 9, а центральный угол LaTeX formula: BOC

равен $LaTeX formula: 140^{\circ}$ . Найдите длину дуги LaTeX formula: AB

(рис. 8.100).

Решение. Так как $LaTeX formula: \angle ABC = 90^{\circ}$ , то центральный угол LaTeX formula: AOC

развернутый.
Так как углы LaTeX formula: BOC

смежные, то
$LaTeX formula: \angle BOA = 180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$ .
Длину дуги LaTeX formula: AB

найдем по формуле 8.31:
$LaTeX formula: l=\frac{2\pi \cdot 9\cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}}=2\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 2\pi$ .

Пример 4. Площадь кругового сектора с центральным углом $LaTeX formula: 120^{\circ}$ равна $LaTeX formula: 12\pi$ . Найдите длину дуги, ограничивающей этот сектор.

Решение. Согласно формуле 8.33 запишем:
$LaTeX formula: 12\pi =\frac{\pi R^{2}\cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}$ , откуда $LaTeX formula: 12=\frac{ R^{2}}{3}$ , $LaTeX formula: R^{2}=36$ , LaTeX formula: R=6

Согласно формуле 8.31
$LaTeX formula: l=\frac{2\pi \cdot 6\cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}$ , $LaTeX formula: l=4\pi$ .
Ответ: $LaTeX formula: 4\pi$ .

Пример 5. Из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая. Длина касательной составляет $LaTeX formula: \frac{2}{3}$ внутреннего отрезка секущей. Определите длину секущей, если длина касательной равна 6 см.

Решение. Отметим вне окружности точку LaTeX formula: A

и проведем из этой точки к окружности секущую LaTeX formula: AD

и касательную LaTeX formula: AB

(рис. 8.101).
Определим внутренний отрезок секущей:
$LaTeX formula: CD=6\cdot \frac{3}{2}=9$ см.
Пусть внешний отрезок касательной LaTeX formula: AC = x

см.

По свойству касательной и секущей запишем:
$LaTeX formula: AB^{2}=AD\cdot AC$ , $LaTeX formula: 36=(x+9)\cdot x$ ,
$LaTeX formula: x^{2}+9x-36=0$ , LaTeX formula: x=3

.
Тогда

(см).
Ответ: 12 см.

Пример 6. Дана точка LaTeX formula: P

, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. В каком отношении точка LaTeX formula: P

делит хорду?

Решение. Рассмотрим окружность (рис.8.102) радиуса LaTeX formula: R=AO=BO=11

см.
Отметим на диаметре LaTeX formula: AB

точку

так, что

см,

см.
Через точку LaTeX formula: P

проведем хорду LaTeX formula: CD = 18

см.
Тогда, если LaTeX formula: CP = x

см, то

см.
По свойству пересекающихся хорд имеем:
$LaTeX formula: AP\cdot BP=CP\cdot DP$ ,
$LaTeX formula: 18\cdot 4=x(18-x)$ ,
$LaTeX formula: x^{2}-18x+72=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1}=12$ , $LaTeX formula: x_{2}=6$ .
Получили отрезки длиной 12 см и 6 см.
Тогда LaTeX formula: CP : PD = 2:1

.
Ответ: LaTeX formula: 2:1

Пример 7. В круговой сектор, дуга которого содержит $LaTeX formula: 60^{\circ}$ , вписан круг. Найдите процентное отношение площади этого круга к площади сектора.

Решение. В круговой сектор LaTeX formula: ABC

(рис. 8.103) впишем круг с центром в точке

:
$LaTeX formula: OK= R_{\circ }$ , $LaTeX formula: BD=R_{c }$ .
Поскольку прямая LaTeX formula: BC

является касательной к кругу, то $LaTeX formula: OK\perp BK$ .
Согласно условию задачи $LaTeX formula: \angle ABC=60^{\circ}$ , тогда $LaTeX formula: \angle OBK=30^{\circ}$ , так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Рассмотрим $LaTeX formula: \Delta OBK:OB=2OK=2R_{\bigcirc }$ (по свойству катета, лежащего против угла $LaTeX formula: 30^{\circ}$ ).
Так как $LaTeX formula: R_{c}=BO+DO$ , то $LaTeX formula: R_{c}=3R_{\bigcirc }$ .
По формулам 8.32 и 8.33 найдем площадь круга и площадь сектора:
$LaTeX formula: S_{\bigcirc }=\pi R_{\bigcirc }^{2}$ ; $LaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R_{c}^{2}}{360^{\circ}}\cdot 60^{\circ}=\frac{\pi 9R_{\bigcirc }^{2}}{6}=\frac{3\pi R_{\bigcirc }^{2}}{2}$ .
Составим отношение площади круга к площади сектора:
$LaTeX formula: \frac{S_{\bigcirc }}{S_{c}}=\frac{\pi R_{\bigcirc }^{2}2}{3\pi R_{\bigcirc }^{2}}$ , $LaTeX formula: \frac{S_{\bigcirc }}{S_{c}}=\frac{2}{3}$ или $LaTeX formula: \frac{200}{3}$ %.

Ответ: $LaTeX formula: 66\frac{2}{3}$ %.

Пример 8. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда длиной 32 см, которая касается меньшего круга. Определите отношение длин меньшей и большей окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.

Решение. Рассмотрим два круга с общим центром в точке LaTeX formula: O

(рис. 8.104).
Пусть LaTeX formula: R

– радиус большего круга, а LaTeX formula: r

– радиус меньшего круга, LaTeX formula: AB

– хорда, касающаяся меньшего круга.
Тогда LaTeX formula: OD = r

.
Поскольку ширина образовавшегося кольца равна 8 см, то LaTeX formula: R-r=8

см и

Так как хорда LaTeX formula: AB

касается меньшего круга, то $LaTeX formula: AB\perp OD$ , тогда LaTeX formula: OD

высота и медиана равнобедренного треугольника LaTeX formula: AOB

см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ODB

.
По теореме Пифагора 8.3: $LaTeX formula: OB^{2}=OD^{2}+DB^{2}$ .
Тогда: $LaTeX formula: R^{2}=(R-8)^{2}+16^{2}$ ,
$LaTeX formula: R^{2}=R^{2}-16R+64+16^{2}$ ,
$LaTeX formula: 16R=64+16^{2}$ , откуда LaTeX formula: R=20

см и

(см).

С учетом формулы 8.30 найдем отношение длин меньшей и большей окружностей:
$LaTeX formula: \frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{2\pi r}{2\pi R}=\frac{r}{R}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ .
Ответ: 3 : 5.

Пример 9. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Найдите отношение площадей этих сегментов.

Решение. Рассмотрим круг радиуса LaTeX formula: R

и правильный треугольник LaTeX formula: ABC

, вписанный в круг (рис. 8.105).
Так как вписанный в окружность угол LaTeX formula: ABC

равен $LaTeX formula: 60^{\circ}$ , то соответствующий ему центральный угол LaTeX formula: AOC

равен $LaTeX formula: 120^{\circ}$ .
По формуле 8.11 найдем площадь треугольника LaTeX formula: AOC

:
$LaTeX formula: S_{AOC}=\frac{1}{2}R^{2}sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}R^{2}}{4}$ .

По формуле 8.33 найдем площадь сектора LaTeX formula: AOC

:
$LaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{\pi R^{2}}{3}$ .

Найдем площадь сегмента, вычитая из площади сектора LaTeX formula: AOC

площадь треугольника LaTeX formula: AOC

:
$LaTeX formula: S_{c_{1}}=\frac{\pi R^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}R^{2}}{4}=\frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}$ .

Найдем площадь второго сегмента, вычитая из площади круга площадь первого сегмента:
$LaTeX formula: S_{c_{2}}=\pi R^{2}-\frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}=\frac{R^{2}(8\pi +3\sqrt{3})}{12}$ .

Найдем отношение площадей этих сегментов:
$LaTeX formula: \frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}:\frac{R^{2}(8\pi +3\sqrt{3})}{12}=\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{8\pi +3\sqrt{3}}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{4\pi -3\sqrt{3}}{8\pi +3\sqrt{3}}$ .

1. Различайте круг и окружность.
В свою очередь:
а) в окружности различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, дугу, центральный угол и вписанный угол;
б) в круге различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, сектор и сегмент.

2. Из одной точки, не принадлежащей окружности, можно провести две касательные к окружности и множество прямых, которые будут пересекать эту окружность (секущих).

3. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
$LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , (8.3)
где

– гипотенуза, LaTeX formula: a

– катеты.

4. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
$LaTeX formula: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos\alpha$ . (8.4)

5. Площадь треугольника:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$ , (8.11)
где LaTeX formula: a

– стороны, $LaTeX formula: \alpha$ – величина угла между ними произвольного треугольника.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_и_окружность m_2_и_круг m_3_и_касательная_и_секущая m_4_и_угол_и_окружность m_5_п_окружность

Окружность и круг