Четырехугольники /qualihelpy

Четырехугольники

Справочник / Абитуриент / Планиметрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Четырехугольником называют многоугольник, имеющий четыре вершины.
Среди всех четырехугольников выделяют параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат и трапецию.

1. Параллелограмм

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.65 изображен параллелограмм LaTeX formula: ABCD

, у которого сторона LaTeX formula: AB

параллельна стороне LaTeX formula: DC

, а сторона LaTeX formula: AD

параллельна стороне LaTeX formula: BC

Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, заключенный между его параллельными сторонами или отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противолежащую сторону.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.66 LaTeX formula: BP

– высота, проведенная к стороне LaTeX formula: AD

– высота, проведенная к стороне LaTeX formula: AB

– высота, проведенная из вершины LaTeX formula: C

на прямую, содержащую сторону LaTeX formula: AD

, а

– высота, проведенная из вершины LaTeX formula: A

на прямую, содержащую сторону LaTeX formula: DC

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.67 LaTeX formula: AB = CD

2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.67 $LaTeX formula: \angle A=\angle C$ и $LaTeX formula: \angle B=\angle D$ .

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.67 LaTeX formula: BO = OD

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон:
$LaTeX formula: d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2a^{2}+2b^{2}$ , (8.15)
где LaTeX formula: a

– смежные стороны, $LaTeX formula: d_{1}$ и $LaTeX formula: d_{2}$ – диагонали параллелограмма.

5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $LaTeX formula: 180^{\circ}$ .
Н а п р и ме р, на рисунке 8.67 $LaTeX formula: \angle A+\angle B=180^{\circ}$ .

Признаки параллелограмма

1. Если у выпуклого четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

3. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

4. Если у выпуклого четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Рассмотрим параллелограмм, у которого: LaTeX formula: a

– смежные стороны, $LaTeX formula: h_{a}$ – высота, проведенная к стороне LaTeX formula: a

, $LaTeX formula: \alpha$ – острый угол, $LaTeX formula: d_{1}$ и $LaTeX formula: d_{2}$ – диагонали, $LaTeX formula: \varphi$ – угол между диагоналями (рис. 8.68).

Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из формул:

$LaTeX formula: S=ah_{a}$ ; (8.16)

$LaTeX formula: S=ab\sin\alpha$ ; (8.17)

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin\varphi$ . (8.18)

Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле:

. (8.19)

2. Ромб

Ромбом называют параллелограмм, все стороны которого равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.69 изображен ромб: LaTeX formula: a

– сторона, LaTeX formula: h

– высота, $LaTeX formula: d_{1}$ , $LaTeX formula: d_{2}$ его диагонали.

Свойства ромба

Ромбу присущи все свойства параллелограмма и, кроме того, свойства:

1) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

2) диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны.

2. Параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны.

3. Параллелограмм является ромбом, если одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Периметр ромба можно вычислить по формуле:

. (8.20)

Площадь ромба можно вычислить по тем же формулам, что и площадь параллелограмма, кроме того, и по формуле:

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}$ . (8.21)

3. Прямоугольник

Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.70 изображен прямоугольник, у которого LaTeX formula: a

– смежные стороны, $LaTeX formula: d_{1}=d_{2}=d$ – диагонали, φ – угол между диагоналями.

Свойства прямоугольника

Прямоугольнику присущи все свойства параллелограмма. Кроме того диагонали прямоугольника равны.

Признаки прямоугольника

1. Параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны.

2. Параллелограмм является прямоугольником, если один из его углов прямой.

3. Четырехугольник является прямоугольником, если три его угла прямые.

Площадь прямоугольника можно вычислить по формулам:
LaTeX formula: S=ab

; (8.22)

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi$ . (8.23)

Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле:
$LaTeX formula: P=2\cdot(a+b)$ . (8.24)

4. Квадрат

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.71 изображен квадрат со стороной LaTeX formula: a

и диагональю LaTeX formula: d

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Признаки квадрата

1. Прямоугольник является квадратом, если две его смежные стороны равны.

2. Прямоугольник является квадратом, если его диагонали перпендикулярны.

3. Прямоугольник является квадратом, если одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Площадь квадрата можно вычислить по формулам:
$LaTeX formula: S=a^{2}$ ; (8.25)

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}$ . (8.26)

Периметр квадрата можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: P=4a

. (8.27)

5. Трапеция

Трапецией называют четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
Н а п р и м е р, на рисунках 8.72 – 8.74 изображены трапеции LaTeX formula: ABCD

. Отрезки

– основания, а LaTeX formula: AB

– боковые стороны трапеций.

Трапецию называют равнобедренной (равнобокой), если ее боковые стороны равны.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.72 изображена равнобедренная трапеция, а на рисунке 8.73 – неравнобедренная.

Трапецию называют прямоугольной, если ее боковая сторона перпендикулярна основаниям.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.74 изображена прямоугольная трапеция.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.75 отрезок LaTeX formula: NP

– средняя линия трапеции LaTeX formula: ABCD

Свойства средней линии трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.

2. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
Н а п р и м е р, на рисунке 8.75 отрезок LaTeX formula: NP

– средняя линия трапеции LaTeX formula: ABCD

, следовательно,
$LaTeX formula: NP\parallel BC$ , $LaTeX formula: NP\parallel AD$ и $LaTeX formula: NP=\frac{1}{2}\left ( AD+BC \right )$ .

Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, равна $LaTeX formula: 180^{\circ}$ .
Н а п р и м е р, на рисунках 4.8 – 4.10 $LaTeX formula: \angle A+\angle B=\angle C+\angle D=180^{\circ}$ .

Рассмотрим трапецию (рис. 8.76): LaTeX formula: a

– основания, LaTeX formula: h

– высота, $LaTeX formula: d_{1}$ , $LaTeX formula: d_{2}$ – диагонали, φ – угол между диагоналями.

Признак трапеции: четырехугольник является трапецией, если две его параллельные стороны не равны.

Площадь трапеции можно вычислить по формулам:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}(a+b)h$ ; (8.28)

$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}sin\varphi$ . (8.29)

Пример 1. Дан выпуклый четырехугольник LaTeX formula: ABCD

, у которого диагональ равна 8, $LaTeX formula: AB = DC=\sqrt{14}$ , LaTeX formula: AD=BC=6

. Найдите другую диагональ этого четырехугольника.

Решение. Так как противолежащие стороны данного четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рис. 8.77).

По свойству диагоналей параллелограмма 8.15 запишем:
$LaTeX formula: 64+d^{2}_{2}=2\cdot 36+2\cdot 14$ , откуда $LaTeX formula: d^{2}_{2}=36$ , $LaTeX formula: d_{2}=6$ .
Ответ: 6.

Пример 2. Стороны параллелограмма LaTeX formula: a

относятся как LaTeX formula: 2:3

и образуют угол $LaTeX formula: 30^{\circ}$ , а его периметр равен 30. Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Периметр параллелограмма находят по формуле 8.19.
Так как LaTeX formula: a=2k

, а

, то

, откуда

. Тогда

, а

Площадь параллелограмма найдем по формуле 8.17.
Получим: $LaTeX formula: S=6\cdot 9\cdot sin30^{\circ}=6\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=27$ .
Ответ: 27.

Пример 3. Дан параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 16. Найдите его высоту.

Решение. Так как диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб (рис. 8.78).

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то
LaTeX formula: OB = 12:2=6

, а

По теореме Пифагора 8.3 найдем сторону ромба:
$LaTeX formula: a=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$ .

По формуле 8.21 найдем площадь ромба:
$LaTeX formula: S = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96$ .

Подставляя значения LaTeX formula: a

в формулу 8.16, найдем высоту ромба:
$LaTeX formula: 96=10\cdot h_{a}$ , $LaTeX formula: h_{a}=9,6$ .
Ответ: 9,6.

Пример 4. Дан четырехугольник, у которого диагонали равны 10 см и в точке пересечения делятся пополам. Найдите периметр этого четырехугольника, если известно, что угол между диагоналями равен $LaTeX formula: 60^{\circ}$ .

Решение. Так как диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм, а так как его диагонали равны, то имеем прямоугольник (рис. 8.79).

Рассмотрим равнобедренный треугольник LaTeX formula: OAB

.
Поскольку $LaTeX formula: \angle OAB=\angle OBA=(180^{\circ}-60^{\circ}):2=60^{\circ}$ , то LaTeX formula: AB = 5

см.

Рассмотрим треугольник LaTeX formula: ABC

. Из теоремы Пифагора 8.3:
$LaTeX formula: CB=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$ , $LaTeX formula: CB=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ (см).

По формуле 8.24 найдем периметр прямоугольника:
$LaTeX formula: P=2(5\sqrt{3}+5)=10(\sqrt{3}+1)$ (см).
Ответ: $LaTeX formula: 10(\sqrt{3}+1)$ см.

Пример 5. Периметр правильного четырехугольника равен 12. Найдите его диагональ.

Решение. Так как четырехугольник правильный, то он квадрат.
С учетом формулы 8.27, найдем сторону квадрата: LaTeX formula: a = 12:4 = 3

Так как площадь квадрата можно найти по или формуле 8.25, или по формуле 8.26, то
$LaTeX formula: a^{2}=\frac{1}{2}d^{2}$ , $LaTeX formula: d^{2}=2a^{2}$ , $LaTeX formula: d=\sqrt{2}a$ , $LaTeX formula: d=3\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 3\sqrt{2}$ .

Пример 6. Дан четырехугольник, у которого диагонали образуют угол $LaTeX formula: 45^{\circ}$ и равны соответственно 3 и 4, а сумма двух неравных параллельных сторон равна 6. Найдите высоту этого четырехугольника.

Решение. Так как две параллельные стороны четырехугольника не равны, то этот четырехугольник – трапеция (рис. 8.80).

По формуле 8.29 найдем ее площадь:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ .

С другой стороны площадь трапеции можно найти по формуле 8.28.
Так как LaTeX formula: a+b=6

, то $LaTeX formula: 3\sqrt{2}=3h$ , откуда $LaTeX formula: h=\sqrt{2}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \sqrt{2}$ .

Пример 7. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 2, периметр равен 23. Найдите площадь трапеции.

Решение. Рассмотрим трапецию LaTeX formula: ABCD

(рис. 8.81) и проведем ее диагональ LaTeX formula: AC

.
Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых LaTeX formula: AD

с секущей

.
Так как диагональ LaTeX formula: AC

является биссектрисой угла LaTeX formula: BCD

, то $LaTeX formula: \angle 1=\angle 2$ .

В таком случае треугольник LaTeX formula: ACD

равнобедренный с боковыми сторонами LaTeX formula: CD

Пусть

.
Согласно условию задачи $LaTeX formula: P_{mp}=23$ и LaTeX formula: 23=2+3x

, откуда

.
Так как LaTeX formula: KN = 2

, то $LaTeX formula: AK=ND=\frac{1}{2}\cdot \left ( 7-2 \right )=\frac{5}{2}$ .

Рассмотрим $LaTeX formula: \Delta ABK$ : из теоремы Пифагора 8.3
$LaTeX formula: h=\sqrt{49-\frac{25}{4}} =\frac{3\sqrt{19}}{2}$ .

По формуле 8.28 найдем площадь трапеции:
$LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot (7+2)\cdot \frac{3\sqrt{19}}{2}=\frac{27\sqrt{19}}{4}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{27\sqrt{19}}{4}$ .

Пример 8. В трапеции длины оснований равны 5 и 10, а длины диагоналей равны 13 и 14. Найдите площадь трапеции.

Решение. Рассмотрим трапецию LaTeX formula: ABCD

(рис. 8.82).
На продолжении стороны LaTeX formula: AD

отложим отрезок $LaTeX formula: DC_{1}$ , равный отрезку LaTeX formula: BC

.
Тогда имеем параллелограмм $LaTeX formula: DBCC_{1}$ , так как $LaTeX formula: BC=DC_{1}$ и $LaTeX formula: BC\parallel DC_{1}$ .
Значит, $LaTeX formula: BD=CC_{1}=14$ .
Так как $LaTeX formula: S_{\Delta ABC}=S_{\Delta CDC_{1}}$ , то $LaTeX formula: S_{mp}=S_{\Delta ACC_{1}}$ .

Площадь треугольника $LaTeX formula: \Delta ACC_{1}$ найдем по формуле Герона 8.12, где
$LaTeX formula: p=\frac{1}{2}(13+14+15)=21$ .

Получим:
$LaTeX formula: S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{4^{2}\cdot3^{2} \cdot 7^{2}}=4\cdot 3\cdot 7=84$ .
Ответ: 84.

1. Существует несколько формул для нахождения площади каждого из четырехугольников. Выбирая формулу, учитывайте данные задачи.

2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
$LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , (8.3)
где

– гипотенуза, LaTeX formula: a

– катеты.

3. Формула Герона:
$LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , (8.12)
где LaTeX formula: a, b, c

– стороны, $LaTeX formula: p=\frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_и_параллелограмм m_2_п_параллелограмм m_3_и_ромб m_4_п_ромб m_5_и_прямоугольник m_6_п_прямоугольник m_7_и_квадрат m_8_п_квадрат m_9_и_трапеция m_10_п_трапеция