Тригонометрические неравенства /qualihelpy

Тригонометрические неравенства

Справочник / Абитуриент / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Тригонометрическими называют неравенства, содержащие тригонометрические функции.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относят неравенства вида: LaTeX formula: sin x<a

$LaTeX formula: (>,\leq ,\geq )$ .

Методы решений неравенств

1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

2. Графическое решение тригонометрических неравенств.

3. Решение неравенств методом интервалов.

Решая тригонометрические неравенства методом интервалов, необходимо отметить, что в случае, если исходное неравенство удалось свести к простейшему, то отбирать корни соответствующего простейшего уравнения (а значит и решать неравенство), будем на основном периоде тригонометрической функции.

Основной период LaTeX formula: T_1

тригонометрической функции LaTeX formula: y=f(kx+b)

можно определить по формуле $LaTeX formula: T_1=\frac{T}{\left | k \right |}$ , где

– основной период функции LaTeX formula: y=f(x)

Например:

1) основной период LaTeX formula: T_1

функции $LaTeX formula: y=sin(3x-\frac{2\pi}{9})$ равен $LaTeX formula: \frac{2\pi}{3}$ , так как основной период LaTeX formula: T

функции

равен $LaTeX formula: 2\pi$ , а LaTeX formula: k=3

;

2) основной период LaTeX formula: T_1

функции $LaTeX formula: y=ctg\frac{2x}{3}$ равен $LaTeX formula: \frac{3\pi}{2}$ , так как основной период LaTeX formula: T

функции

равен $LaTeX formula: \pi$ , а $LaTeX formula: k=\frac{2}{3}$ .

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: sinx\leq \frac{\sqrt2}{2}$ .

Решение. Найдем наименьшее положительное решение уравнения $LaTeX formula: sinx=\frac{\sqrt2}{2}$ . Получим: $LaTeX formula: x= \frac{\pi}{4}$ . Построим на координатной плоскости единичную окружность и прямую $LaTeX formula: y= \frac{\sqrt{2}}{2}$ (рис. 7.53).

Решением данного неравенства на основном периоде функции LaTeX formula: y=sinx

, равном $LaTeX formula: 2\pi$ , являются те значения переменной LaTeX formula: x

, при которых выполняется условие $LaTeX formula: -1\leq sinx\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , т. е. отрезок $LaTeX formula: \left [ \frac{3\pi}{4} ; 2\pi +\frac{\pi}{4}\right ]$ . Прибавляя к концам отрезка числа вида $LaTeX formula: 2\pi n$ , где $LaTeX formula: n\in Z$ , получим множество всех решений неравенства.

Ответ: $LaTeX formula: \left [ \frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n\right ]$ , $LaTeX formula: n\in Z$ .

Пример 2. Решите неравенство $LaTeX formula: tgx\leq 1$ .

Решение. Построим графики функций LaTeX formula: y=tgx

на промежутке $LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$ , т. е. на основном периоде функции LaTeX formula: y=tgx

(рис. 7.54).

Решением данного неравенства на этом промежутке является множество тех значений переменной LaTeX formula: x

, при которых график функции LaTeX formula: y=tgx

расположен не выше прямой LaTeX formula: y=1

: промежуток $LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4} \right ]$ . Прибавляя к концам этого промежутка числа вида $LaTeX formula: \pi n$ , где $LaTeX formula: n\in Z$ , получим множество всех решений данного неравенства.

Ответ: $LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{4} +\pi n\right ]$ , $LaTeX formula: n\in Z$ .

Пример 3. Решите неравенство $LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)\leq \frac{1}{2}$ .

Решение. 1. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}\leq0$ и рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}$ .

2. Определим основной период функции по формуле $LaTeX formula: T_1=\frac{T}{\left | k \right |}$ . Зная, что основной период

функции

равен $LaTeX formula: 2\pi$ , а LaTeX formula: k=2

, получим $LaTeX formula: T_1=\pi$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение:
$LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$ , откуда $LaTeX formula: 2x+\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$ , $LaTeX formula: n\in Z$ ; $LaTeX formula: x=\pm \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}+\pi n$ , $LaTeX formula: n\in Z$ .

4. Отберем корни уравнения на отрезке $LaTeX formula: \left [ 0;\pi \right ]$ :
если LaTeX formula: n=0

, то $LaTeX formula: x=\frac{\pi}{12}$ ; если LaTeX formula: n=1

, то $LaTeX formula: x=\frac{3\pi}{4}$ .

5. Нанесем числа $LaTeX formula: \frac{\pi}{4}$ и $LaTeX formula: \frac{3\pi}{4}$ на отрезок $LaTeX formula: \left [ 0;\pi \right ]$ и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.55).

6. Решением неравенства на отрезке является промежуток, на котором функция принимает неположительные значения, т. е. отрезок $LaTeX formula: \left [ \frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4} \right ]$ .
Чтобы записать множество всех решений неравенства, необходимо к концам этого отрезка прибавить период функции $LaTeX formula: \pi$ , предварительно умноженный на число m, принадлежащее множеству всех целых чисел.

Ответ: $LaTeX formula: \left [ \frac{\pi}{4}+\pi m;\frac{3\pi}{4}+\pi m\right ]$ , $LaTeX formula: m\in Z$ .

Пример 4. Найдите решения неравенства

$LaTeX formula: sin2x\cdot sin3x-cos2x\cdot cos3>sin10x$ .

Решение. 1. Запишем неравенство в виде

$LaTeX formula: cos2x\cdot cos3-sin2x\cdot sin3x <-sin10x$ .

Применяя формулы $LaTeX formula: cosx\cdot cosy-sinx\cdot siny=cos(x+y)$ и $LaTeX formula: sin2x=2sinx\cdot cosx$ , получим:

, $LaTeX formula: cos5x+2sim5x\cdot cos5x<0$ , LaTeX formula: cos5x(1+2sin5x)<0

2. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)= cos5x(1+2sin5x)

и найдем ее нули, решая уравнение LaTeX formula: cos5x(1+2sin5x)=0

, равносильное совокупности уравнений:
1) LaTeX formula: cos5x=0

, $LaTeX formula: 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n$ , $LaTeX formula: n\in Z$ ; $LaTeX formula: x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$ , $LaTeX formula: n\in Z$ ;

, $LaTeX formula: sin5x=-\frac{1}{2}$ , $LaTeX formula: 5x=(-1)^{m+1}\frac{\pi}{6}+\pi m$ , $LaTeX formula: m\in Z$ ; $LaTeX formula: x=(-1)^{m+1}\frac{\pi}{30}+\frac{\pi m}{5}$ , $LaTeX formula: m\in Z$ .

3. Отберем последовательные корни уравнения:

1) если

, то $LaTeX formula: x=-\frac{\pi}{10}$ ; если LaTeX formula: n=0

, то $LaTeX formula: x=\frac{\pi}{10}$ ; если LaTeX formula: n=1

, то $LaTeX formula: x=\frac{3\pi}{10}$ ; если LaTeX formula: n=2

, то $LaTeX formula: x=\frac{5\pi}{10}$ ;

2) если

, то $LaTeX formula: x=-\frac{\pi}{30}$ ; если LaTeX formula: m=1

, то $LaTeX formula: x=\frac{7\pi}{30}$ ; если LaTeX formula: m=2

, то $LaTeX formula: x=\frac{11\pi}{30}$ ; если LaTeX formula: m=3

, то $LaTeX formula: x=\frac{19\pi}{30}$ .

4. Нанесем корни уравнения на координатную прямую и определим знаки значений функции LaTeX formula: f(x)=cos5x(1+2sin5x)

на полученных промежутках (рис. 7.56).

5. Из рисунка 7.56 видим, что отрицательные значения функция принимает на промежутках разной длины:

1) длина промежутка $LaTeX formula: \left (-\frac{3\pi}{30};-\frac{\pi}{30} \right )$ и промежутка $LaTeX formula: \left (\frac{9\pi}{30};\frac{11\pi}{30} \right )$ равна $LaTeX formula: \frac{2\pi}{30}$ ;

2) длина промежутка $LaTeX formula: \left (\frac{3\pi}{30};\frac{7\pi}{30} \right )$ и промежутка $LaTeX formula: \left (\frac{15\pi}{30};\frac{19\pi}{30} \right )$ равна $LaTeX formula: \frac{4\pi}{30}$ .

Так как все промежутки знакопостоянства функции повторяются через $LaTeX formula: \frac{12\pi}{30}$ , то основной период функции равен $LaTeX formula: \frac{2\pi}{5}$ .
Чтобы записать все решения неравенства необходимо к концам промежутков, на которых функция принимает отрицательные значения, прибавить $LaTeX formula: \frac{2\pi k}{5}$ , где $LaTeX formula: k\in Z$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}<x<-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi k}{5}$ ; $LaTeX formula: \frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}<x<\frac{7\pi}{30}+\frac{2\pi k}{5}$ , $LaTeX formula: k\in Z$ .

Если основной период функции, записанной в левой части неравенства, определить сложно, то можно решать неравенство на любом периоде этой функции. В отдельных случаях можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1) записать неравенство в виде LaTeX formula: f(x)< 0

$LaTeX formula: (>,\leq ,\geq )$ и найти нули функции, решая уравнение LaTeX formula: f(x)=0

;

2) отобрать несколько последовательных корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0

так, чтобы получить не менее двух промежутков, на которых значения функции отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные);

3) определить два последовательных промежутка, на которых значения функции отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные);

4) определить расстояние на координатной прямой между промежутками, на которых функция имеет значения одного и того же знака (период функции), вычитая из начала второго промежутка, начало первого;

5) записать один из промежутков, на котором функция принимает отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные) значения, и к его концам прибавить период функции, умноженный на целое число n.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_тригонометрические_неравенства