Показательные неравенства /qualihelpy

Показательные неравенства

Справочник / Абитуриент / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Показательными называют неравенства, содержащие переменную в показателе степени

Методы решений неравенств

1. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: a^{f(x)}<a^{g(x)}$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ) (7.15), то:

а) при условии, что получим

; (7.15.1)

б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1

получим

. (7.15.2)

2. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: a^{f(x)}<b$ , то:

а) при

получим $LaTeX formula: f(x)<log _{a}b$ ;

б) при

и $LaTeX formula: b\leq 0$ получим $LaTeX formula: x\in \varnothing$ ;

в) при

получим $LaTeX formula: f(x)>log _{a}b$ ;

г) при

и $LaTeX formula: b\leq 0$ получим $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .

3. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: a^{f(x)}>b$ , то:

а) при

получим $LaTeX formula: f(x)>log _{a}b$ ;

б) при

и $LaTeX formula: b\leq 0$ получим $LaTeX formula: x\in D(f)$ ;

в) при

получим $LaTeX formula: f(x)<log _{a}b$ ;

г) при

и $LaTeX formula: b\leq 0$ получим $LaTeX formula: x\in D(f)$ .

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: 2^{1-2^{^{x^{-1}}}}<0,125$ .

Решение. Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: a>1

равносильно 7.15.1.

Поскольку

, то получим: $LaTeX formula: 1-2^{\frac{1}{x}}<-3$ , $LaTeX formula: 2^{\frac{1}{x}}>4$ , $LaTeX formula: 2^{\frac{1}{x}}>2^2$ , $LaTeX formula: \frac{1}{x}>2$ , $LaTeX formula: \frac{1-2x}{x}>0$ .

Согласно рисунку 7.38 запишем решение неравенства: LaTeX formula: (0;0,5)

Ответ :

Пример 2. Решите неравенство $LaTeX formula: (0,(7)^{1/x^2})^{x^2-2x}\geq 1$ .

Решение. Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: 0<a<1

равносильно 7.15.2.

Поскольку

, то получим $LaTeX formula: \frac{x(x-2)}{x^2}\leq 0$ .

Согласно рисунку 7.39 запишем решение неравенства: LaTeX formula: (0;2]

Ответ :

Пример 3. Определите число целых решений неравенства $LaTeX formula: (0,5)^{x^{2}-4x-5}\leq 3^{-x^{2}+4x+5}$ .

Решение. Запишем неравенство в виде:
$LaTeX formula: \left ( \frac{1}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq \left ( \frac{1}{3} \right )^{x^{2}-4x-5}$ .

Разделим обе его части на $LaTeX formula: \left ( \frac{1}{3} \right )^{x^{2}-4x-5}$ и получим:
$LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq 1$ или $LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2} \right )^{x^{2}-4x-5}\leq \left ( \frac{3}{2} \right )^0$ .

Имеем неравенство вида 7.15, которое при LaTeX formula: a>1

равносильно 7.15.1.

Так как основание степени $LaTeX formula: \frac{3}{2}>1$ , то показательное неравенство равносильно неравенству:
$LaTeX formula: x^2-4x-5\leq 0$ .

Решим последнее неравенство методом интервалов (рис. 7.40) и получим $LaTeX formula: x\in[-1;5]$ .

Отрезку

принадлежит 7 целых решений неравенства: LaTeX formula: -1

;

;

;

;

;

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство $LaTeX formula: 5^2(\sqrt{2})^{2x}-10^x+5^x>25$ .

Решение. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: 25\cdot 2^x-2^x\cdot 5^x+5^x-25>0$ и разложим его левую часть на множители.

Получим:

, $LaTeX formula: (25-5^x)\cdot (2^x-1)>0$ .

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=(25-5^x)\cdot (2^x-1)$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x\in R$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: (25-5^x)\cdot (2^x-1)=0$ , равносильное совокупности уравнений LaTeX formula: 5^x=25

, откуда

или

, откуда

4. Нанесем числа 0 и 2 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.41).

5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция положительна.

Ответ:

Пример 5. Решите неравенство $LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}+1}+1>1,5\cdot 0,5^{\sqrt{x}}$ .

Решение. Запишем данное неравенство в виде $LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}\cdot 0,5+1-1,5 \cdot 0,5^{\sqrt{x}}>0$ , $LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}>0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x\geq 0$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: 0,5^{2\sqrt{x}}+2-3\cdot 0,5^{\sqrt{x}}=0$ .

Получим: $LaTeX formula: 0,5^{\sqrt{x}}=1$ , откуда LaTeX formula: x=0

или $LaTeX formula: 0,5^{\sqrt{x}}=2$ , откуда $LaTeX formula: 2^{-\sqrt{x}}=2$ , $LaTeX formula: \sqrt{x}=-1$ и $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .

4. Нанесем число LaTeX formula: 0

на область определения функции и установим ее знак ее значений на полученном промежутке (рис. 7.42).

Ответ : $LaTeX formula: (0; +\infty)$ .

Покажем решение показательно-степенного неравенства $LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}<((f(x))^{\varphi (x)}$ ( LaTeX formula: >

; $LaTeX formula: \leq$ ; $LaTeX formula: \geq$ ). (7.16)

Запишем это неравенство в виде $LaTeX formula: (f(x)^{g(x)}-(f(x))^{\varphi (x)}<0$ и рассмотрим функцию $LaTeX formula: F(x)=(f(x)^{g(x)}-(f(x))^{\varphi (x)}$ .

Находя нули функции LaTeX formula: F(x)

, решим уравнения:

1) $LaTeX formula: g(x)=\varphi (x)$ , при условии, что LaTeX formula: f(x)>0

и $LaTeX formula: f(x)\neq 1$ (случай LaTeX formula: f(x)<0

нами не рассматривается);

;

Обратим внимание на то, что необходима проверка корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0

, так как, подставив полученные числа в уравнение $LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=((f(x))^{\varphi (x)}$ , можем получить неопределенность вида LaTeX formula: 0^0