Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля /qualihelpy

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Справочник / Абитуриент / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Преобразования неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, основано на определении модуля числа.

Модулем (абсолютной величиной) числа LaTeX formula: a

называют число LaTeX formula: a

, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если число LaTeX formula: a

отрицательное:

$LaTeX formula: \left | a \right |=a$ , если $LaTeX formula: a \geq 0$ и $LaTeX formula: \left | a \right |=-a$ , если LaTeX formula: a<0

Методы решений неравенств

1. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq g(x)$ , (7.8)
то оно равносильно системе неравенств

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\leq g(x), & & \\ f(x)\geq -g(x). & & \end{matrix}\right.$ (7.8.1)

2. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |\geq g(x)$ , (7.9)
то оно равносильно совокупности неравенств

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} f(x)\geq g(x), & & \\ f(x)\leq -g(x). & & \end{matrix}$ (7.9.1)

3. Решение неравенств вида $LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq f(x)$ ( LaTeX formula: <

, $LaTeX formula: \geq$ , LaTeX formula: >

1) если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq f(x)$ ( LaTeX formula: <

), (7.10)
то оно равносильно неравенству $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ ( LaTeX formula: >

); (7.10.1)

2) если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |\geq f(x)$ , (7.11)
то оно выполняется на всей области определения функции LaTeX formula: f(x)

;

3) если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |> f(x)$ , (7.12)
то оно равносильно неравенству LaTeX formula: f(x)< 0

. (7.12.1)

4. Если неравенство имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |< \left | g(x) \right |$ ( LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \leq$ , $LaTeX formula: \geq$ ), (7.13)
то оно равносильно неравенству $LaTeX formula: f^{2}(x)< g^{2}(x)$ ( LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \leq$ , $LaTeX formula: \geq$ ). (7.13.1)

5. Если неравенство содержит несколько модулей, например, имеет вид
$LaTeX formula: \left | f_{1}(x) \right |+\left | f_{2}(x) \right |\leq g(x)$ , ( $LaTeX formula: \geq$ , LaTeX formula: <

) , (7.14)
то применяем метод интервалов, следуя алгоритму:

1) находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения $LaTeX formula: f_{1}(x)=0$ и $LaTeX formula: f_{2}(x)=0$ ;

2) наносим нули функций на область определения уравнения;

3) раскрываем модули на каждом промежутке;

4) решаем полученные неравенства;

5) производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: \left | \frac{6x+1}{3-x} \right |<6$ .

Решение. Имеем неравенство вида 7.8, которое равносильно 7.8.1, следовательно, данное неравенство равносильно системе неравенств:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{6x+1}{3-x}<6,\\ \frac{6x+1}{3-x}>-6; & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{6x+1-18+6x}{3-x}<0,\\ \frac{6x+1+18-6x}{3-x}>0; & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{12x-17}{3-x}<0,\\ \frac{19}{3-x}>0. & \end{matrix}\right.$

Поскольку второе неравенство системы выполняется при LaTeX formula: 3-x>0

, то первое неравенство системы решим методом интервалов на промежутке $LaTeX formula: (-\infty ;3)$ .

Согласно рисунку 7.32 запишем решение системы неравенств, а, следовательно, и решение исходного неравенства: $LaTeX formula: x\in (-\infty ;\frac{17}{12})$ .

Ответ: $LaTeX formula: x\in (-\infty ;\frac{17}{12})$ .

Пример 2. Решите неравенство $LaTeX formula: \left | 2-\left | x-1 \right | \right |\geq 30$ .

Решение. Имеем неравенство вида 7.9, которое равносильно 7.9.1, следовательно, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

$LaTeX formula: \left[ \begin {aligned} & \ 2-\left | x-1 \right |\geq 30, \\ & \ 2-\left | x-1 \right | \leq -30; \end {aligned} \right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left[ \begin {aligned} & \left | x-1 \right|\leq -28, \\ & \left | x-1 \right|\geq 32. \end {aligned} \right$

Решим каждое неравенство совокупности:

1) поскольку левая часть неравенства $LaTeX formula: \left | x-1 \right|\leq -28$ всегда положительна, а правая его часть всегда отрицательна и положительное число больше отрицательного, то неравенство не имеет решений;

2) $LaTeX formula: \left | x-1 \right|\geq 32$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-1\geq 32,\\ x-1\leq - 32; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\geq 33,\\ x\leq -31; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty ;-31]\cup [33;+\infty)$ .

Решением совокупности неравенств является решение второго неравенства совокупности.

Ответ: $LaTeX formula: (-\infty ;-31]\cup [33;+\infty)$ .

Пример 3. Найдите сумму решений системы неравенств $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \left | 10x+3 \right|\leq 33,\\ \left | 10x+3 \right|\geq 33. \end{matrix}\right.$

Решение. Способ I. Так как неравенство 7.8 равносильно 7.8.1, то

$LaTeX formula: \left | 10x+3 \right|\leq 33 \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 10x+3\leq33,\\ 10x+3\geq-33; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in [-3,6; 3]$ ;

Так как неравенство вида 7.9, равносильно 7.9.1, то

$LaTeX formula: \left | 10x+3 \right|\geq 33$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ 10x+3 \geq 33,\\& \ 10x+3\leq -33; \end{aligned}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ x \geq 3,\\& \ x\leq -3,6; \end{aligned}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty;-3,6]\cup [3;+\infty)$ .

Очевидно, что решением системы неравенств являются числа –3,6 и 3, сумма которых равна –0,6.

Способ II. Заменим систему неравенств $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \left | 10x+3 \right|\leq 33,\\ \left | 10x+3 \right|\geq 33 \end{matrix}\right.$ равносильным уравнением

$LaTeX formula: \left | 10x+3 \right| =33$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: \[\left[\begin{aligned} & \ 10x+3 = 33,\\& \ 10x+3= -33; \end{aligned}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ x = 3,\\& \ x= -3,6; \end{aligned}\right.$

Ответ:

Пример 4. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства $LaTeX formula: 8x^2+8\sqrt{x^2}-3>0$ .

Решение. Поскольку $LaTeX formula: \sqrt{x^2}=\left | x \right |$ и $LaTeX formula: x^2=\left | x \right |^2$ , то неравенство примет вид $LaTeX formula: 8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3>0$ , решать которое будем методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x\in R$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: 8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3=0$ . Получим $LaTeX formula: \left | x \right |=\frac{-2-\sqrt{10}}{4}$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ или $LaTeX formula: \left | x \right |=\frac{-2+\sqrt{10}}{4}$ , откуда $LaTeX formula: x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{4}$ , $LaTeX formula: x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{4}$ .

4. Нанесем полученные числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.33).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция положительна: $LaTeX formula: \left ( -\infty ; \frac{2-\sqrt{10}}{4}\right )\cup \left ( \frac{-2+\sqrt{10}}{4} ;+\infty\right)$ .

Так как $LaTeX formula: \frac{2-\sqrt{10}}{4}<0$ , а $LaTeX formula: \frac{-2+\sqrt{10}}{4}\approx 0,29$ , то число 1 является наименьшим целым положительным решением неравенства.

Ответ: 1.

Разложим левую часть неравенства на множители, применяя формулу разности квадратов:

Решим неравенство методом интервалов.

2. $LaTeX formula: D(f): x\in R$ .

3. Найдем нули функции, решая совокупность уравнений:

1) $LaTeX formula: \left |x\right |^2 -6\left | x\right |+15=0$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ ;

2) $LaTeX formula: \left | x\right |^2-4\left |x\right |+ 3=0$ , откуда LaTeX formula: x_1=1

4. Нанесем числа –1, 1, –3 и 3 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.34).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на котором функция отрицательна: $LaTeX formula: (-3;-1)\cup (1;3)$ .

Найдем сумму квадратов целых решений неравенства: LaTeX formula: (-2)^2+2^2=8

Ответ:

Пример 6. Решите неравенство $LaTeX formula: \frac{\left | x \right |^2-7\left | x \right |-10}{x^2-6x+9}>0$ .

Решение. Решим неравенство методом интервалов.

1. Если $LaTeX formula: x\leq 0$ , то неравенство примет вид:

$LaTeX formula: \frac{x^2+7x+10}{(x-3)^2}>0$ , $LaTeX formula: \frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^2}>0$ .
Его решение показано на рисунке 7.36: $LaTeX formula: x\in (-\infty ;-5)\cup (-2;0]$ .

2. Если

, то неравенство примет вид:

$LaTeX formula: \frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2}>0$ , $LaTeX formula: \frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)^2}>0$ .
Его решение показано на рисунке 7.37: $LaTeX formula: x\in (0;2)\cup (5;+\infty )$ .

Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и втором случаях.

Ответ: $LaTeX formula: (-\infty;-5)\cup (-2;2)\cup (5;+\infty )$ .

Всякое неравенство, содержащее переменную по знаком модуля, можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения комбинированных неравенств.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля