Иррациональные неравенства /qualihelpy

Иррациональные неравенства

Справочник / Абитуриент / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Иррациональными называют неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала).

При решении иррациональных неравенств необходимо помнить:

а) если обе части неравенства на его области определения принимают только неотрицательные значения, то, возводя обе части в квадрат, (или в любую другую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на области определения);

б) возводя обе части неравенства в одну и ту же нечетную степень, всегда получим неравенство, равносильное данному неравенству.

Методы решений неравенств

1. Рассмотрим неравенство вида $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}\leq g(x)$ . (7.1)

Так как выражение, стоящее под знаком радикала и правая часть неравенства не могут быть отрицательными, то, данное неравенство равносильно системе неравенств $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}f(x)\geq 0, & \\ g(x)\geq 0, & \\ f(x)\leq g^{2}(x).\end{array}\right$ (7.1.1)

2. Рассмотрим неравенство вида $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}\geq g(x)$ . (7.2)

Так как

может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то возможны два случая:

1) если $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ , то решаем систему неравенств

$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}f(x)\geq 0, & \\ g(x)\geq 0, & \\ f(x)\geq g^{2}(x).\end{array}\right$ (7.2.1)

2) если

, то решаем систему неравенств $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\geq 0, & & \\ g(x)< 0. & & \\ \end{matrix}\right.$ (7.2.2)

Решением неравенства 7.2 является объединение решений 7.2.1 и 7.2.2.

3. Неравенства с двумя радикалами:

1) неравенство $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}< \sqrt{g(x)}$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ) (7.3)

при $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ и $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ равносильно неравенству

( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ); (7.3.1)

2) неравенство $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}< c$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ) (7.4)

при

, $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ и $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ равносильно неравенству

$LaTeX formula: (\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)})^{2}< c^{2}$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ); (7.4.1)

3) неравенство $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}< c$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ) (7.5)

при

, $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ и $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ равносильно неравенству

$LaTeX formula: \left ( \sqrt{f(x)} \right )^{2}< \left ( \sqrt{g(x)}+c \right )^{2}$ ( $LaTeX formula: \leq$ , LaTeX formula: >

, $LaTeX formula: \geq$ ); (7.5.1)

4) неравенство $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}> c$ ( $LaTeX formula: \geq$ ) (7.6)

при

равносильно системе неравенств $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ и $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ ;

5) неравенство $LaTeX formula: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}< c$ ( $LaTeX formula: \leq$ ) (7.7)

при

решений не имеет.

4. Иррациональные неравенства можно решить методом интервалов, следуя алгоритму:

1) записать неравенство в виде LaTeX formula: f(x)< 0

(

, $LaTeX formula: \leq$ , $LaTeX formula: \geq$ );

2) найти область определения функции LaTeX formula: y=f(x)

;

3) найти нули функции, решая уравнение LaTeX formula: f(x)=0

;

4) нанести нули функции на ее область определения;

5) определить знак значений функции на любом промежутке;

6) определить знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый корень уравнения LaTeX formula: f(x)=0

знак значений функции изменяется (при этом учитываем кратность корней);

7) записать решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

5. Использование монотонности функций.

Если функция LaTeX formula: f(x)

строго возрастает на некотором отрезке $LaTeX formula: \left [ a;b \right ]$ , а функция LaTeX formula: g(x)

строго убывает на этом отрезке и $LaTeX formula: x_{0}$ – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x)

, то решением неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x)

является промежуток $LaTeX formula: \left [ a;x_{0})$ , а решением неравенства LaTeX formula: f(x)> g(x)

является промежуток $LaTeX formula: (x_{0};b]$ (рис. 7.19).

Аналогично решаются неравенства $LaTeX formula: f(x)\leq g(x)$ и $LaTeX formula: f(x)\geq g(x)$ , а также неравенства, где функция LaTeX formula: g(x)

имеет вид

Пример 1. Решите неравенство $LaTeX formula: \sqrt{4x+1}+\sqrt{2x-3}\geq 4$ .

Решение. Найдем область определения неравенства:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 4x+1\geq 0, & & \\ 2x-3\geq 0; & & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x\geq -0,25, & \\ x\geq 1,5; & & \end{array}\right.$ $LaTeX formula: x\in \left [ 1,5;+\infty )$ .

Поскольку левая часть неравенства представлена функцией, которая строго возрастает на области определения и $LaTeX formula: x_{0}=2$ - корень уравнения $LaTeX formula: \sqrt{4x+1}+\sqrt{2x-3}=4$ , то промежуток $LaTeX formula: \left [ 2;+\infty )$ - решение данного неравенства.

Ответ: $LaTeX formula: \left [ 2;+\infty )$ .

Пример 2. Решите неравенство $LaTeX formula: \sqrt{2x-15+x^{2}}> -1$ .

Решение. Так как выражение, стоящее под знаком радикала не может быть отрицательным, то запишем ОДЗ неравенства:

$LaTeX formula: x^{2}+2x-15\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-5]\cup [3;+\infty )$ (рис. 7.20).

Поскольку левая часть неравенства неотрицательна, а правая всегда отрицательна на ОДЗ, то решением неравенства является любое число из промежутков $LaTeX formula: (-\infty ;-5]$ и $LaTeX formula: [3;+\infty )$ .

Ответ: $LaTeX formula: (-\infty ;-5]\cup [3;+\infty )$ .

Пример 3. Найдите целые решения неравенства $LaTeX formula: 5> \sqrt{x+1}+x$ .

Решение. Способ I. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: \sqrt{x+1}< 5-x$ .

Имеем неравенство 7.1, которое равносильно 7.1.1.

Запишем систему ограничений: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0, & & \\ 5-x\geq 0; & & \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x\geq -1, & \\ x\leq 5; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: x\in \left [ -1;5 \right ]$ .

Возводя обе части неравенства в квадрат, получим: $LaTeX formula: (\sqrt{x+1})^{2}< (5-x)^{2}$ , $LaTeX formula: x+1<25-10x+x^{2}$ , $LaTeX formula: x^{2}-11x+24> 0$ , откуда $LaTeX formula: x\in \left [ -1;3)$ (рис. 7.21).

Запишем целые решения неравенства: LaTeX formula: -1

;

;

Способ II. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: \sqrt{x+1}-5+x< 0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x+1}-5+x$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x\geq -1$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x+1}=5-x$ при условии, что $LaTeX formula: x\leq 5$ .

Получим: $LaTeX formula: x+1=25-10x+x^{2}$ , $LaTeX formula: x^{2}-11x+24=0$ , откуда $LaTeX formula: x_{1}=3$ , $LaTeX formula: x_{2}=8$ , причем $LaTeX formula: x_{2}=8$ посторонний корень уравнения, так как он не удовлетворяет условию $LaTeX formula: x\leq 5$ .

4. Нанесем число 3 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.22).

5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция $LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x+1}-5+x$ отрицательна: $LaTeX formula: x\in \left [ -1;3)$ .

Ответ:

;

Пример 4. Найдите сумму целых решений неравенства $LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}> x-3$ , удовлетворяющих условию $LaTeX formula: \sqrt[4]{(1-x)^{4}}\leq (-\sqrt{2})^{4}$ .

Решение. Способ I. Имеем неравенство 7.2, которое равносильно совокупности систем неравенств 7.2.1 и 7.2.2.

1. Если правая часть неравенства неотрицательна, то запишем систему ограничений: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x^{2}-4x\geq0, & \\ x-3\geq 0; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: x\in \left [ 4;+\infty )$ (рис. 7.23).

Возведем обе части неравенства в квадрат и получим:

$LaTeX formula: x^{2}-4x> x^{2}-6x+9$ , LaTeX formula: 2x> 9

Учитывая систему ограничений, запишем: $LaTeX formula: x\in (4,5;+\infty )$ .

2. Если правая часть неравенства отрицательна, то решим систему неравенств:

$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x^{2}-4x\geq 0, & \\ x-3< 0; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x(x-4)\geq 0, & \\ x<3; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty;0]$ (рис. 7.24).

Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и во втором случаях:

$LaTeX formula: x\in (-\infty;0]\cup (4,5;+\infty )$ .

Рассмотрим дополнительное ограничение $LaTeX formula: \sqrt[4]{(1-x)^{4}}\leq (-\sqrt{2})^{4}$ и запишем его в виде $LaTeX formula: \left | x-1 \right |\leq 4$ . Это неравенство равносильно системе неравенств: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x-1\leq 4, & \\ x-1\geq -4; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x\leq 5, & \\ x\geq-3; & & \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in \left [ -3;5 \right ]$ .

Запишем решение задачи (рис. 7.25): $LaTeX formula: x\in \left [ -3;0 \right ]\cup (4,5;5]$ .

Найдем сумму целых решений задачи: LaTeX formula: -3 -2 -1 +0 +5 = -1

Способ II. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}-x+3>0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x^{2}-4x}-x+3$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x^{2}-4x\geq 0$ . Поскольку решения неравенства должны удовлетворять условию $LaTeX formula: \left | x-1 \right |\leq 4\Leftrightarrow x\in \left [ -3;5 \right ]$ , то решим неравенство $LaTeX formula: x^{2}-4x\geq 0$ на отрезке $LaTeX formula: \left [ -3;5 \right ]$ и согласно рисунку 7.26 запишем: .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x^{2}-4x}=x-3$ , при условии, что $LaTeX formula: x-3\geq 0$ . Получим: $LaTeX formula: x^{2}-4x=x^{2}-6x+9$ , откуда LaTeX formula: x=4,5

4. Нанесем число LaTeX formula: 4,5

на область определения функции и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.27).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция положительна: $LaTeX formula: x\in \left [ -3;0 \right ]\cup \left ( 4,5;5 \right ]$ .

Этим промежуткам принадлежит LaTeX formula: 5

целых решений неравенства, сумма которых равна LaTeX formula: -1

Ответ:

Пример 5. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства $LaTeX formula: \sqrt[11]{-x^{2}+5x+6} \cdot \sqrt[10]{4-x}> 0$ .

Решение. Решим неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\sqrt[11]{-x^{2}+5x+6} \cdot \sqrt[10]{4-x}$ .

2. $LaTeX formula: D(f):4-x\geq 0$ , $LaTeX formula: x\leq 4$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнения $LaTeX formula: -x^{2}+5x+6=0$ и LaTeX formula: 4-x=0

. Получим: $LaTeX formula: x_{1}=6$ , $LaTeX formula: x_{2}=-1$ , $LaTeX formula: x_{3}=4$ .

4. Нанесем числа –1 и 4 на область определения функции и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.28).

5. Согласно рисунку 7.28 решением неравенства является интервал LaTeX formula: (-1;4)

, на котором функция положительна.

Найдем среднее арифметическое целых решений неравенства: LaTeX formula: (0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5

Ответ:

Пример 6. Решите неравенство $LaTeX formula: x-12\leq \sqrt{x}$ .

Решение. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: x-\sqrt{x}-12\leq 0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=x-\sqrt{x}-12$ .

2. $LaTeX formula: D(f):x\geq 0$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: x-\sqrt{x}-12=0$ .
По теореме, обратной теореме Виета, получим: $LaTeX formula: \sqrt{x}=4$ , откуда LaTeX formula: x=16

и $LaTeX formula: \sqrt{x}=-3$ , откуда $LaTeX formula: x\in \O$ .

4. Нанесем число 16 на область определения функции и определим знаки её значений на полученных промежутках (рис. 7.31).

5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция $LaTeX formula: f(x)=x-\sqrt{x}-12$ не положительна.

Ответ: $LaTeX formula: \left [ 0;16 \right ]$ .

Всякое иррациональное неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения неравенств вида 7.2 и комбинированных неравенств.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_4_иррациональные_неравенства

Иррациональные неравенства