Геометрическая прогрессия

Справочник / Абитуриент / Пргрессии /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же число .
Число  называют знаменателем геометрической прогрессии.
Н а п р и м е р,числовая последовательность  … является геометрической прогрессией, первый член которой равен , а знаменатель ее равен $LaTeX formula: \frac{1}{2}$ .
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.
Если $LaTeX formula: b_{1}$ – первый член прогрессии $LaTeX formula: (b_{1}\neq0 )$ ,   – знаменатель прогрессии $LaTeX formula: (q\neq 1 )$ , а  – количество членов прогрессии, то справедливы следующие формулы.
Формула -го члена:
$LaTeX formula: b_{n}=b_{1}q^{n-1}$ . (6.4)
Формула суммы   первых членов:
$LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}$ . (6.5)
Свойство –го члена
$LaTeX formula: b_{n}^{2}=b_{n-1}b_{n+1}$ . (6.6)
Если $LaTeX formula: \left |q \right |<1$ , то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле:
$LaTeX formula: S=\frac{b_{1}}{1-q}$ . (6.7)

Пример 1. Найдите шестой член геометрической прогрессии с положительным членами, если ее третий член равен , а пятый член равен .

Решение. Согласно свойству 6.6 запишем:

$LaTeX formula: b_4=\sqrt{b_3\cdot b_5}=\sqrt{36\cdot 16}=24$ .

Найдем знаменатель прогрессии:
$LaTeX formula: q=\frac{b_5}{b_4}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$ .

Найдем шестой член прогрессии:
$LaTeX formula: b_6=b_5\cdot q=16\cdot \frac{2}{3}=\frac{32}{3}$ .

Ответ: $LaTeX formula: 10\frac{2}{3}$ .

Пример 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, члены которой поочередно меняют знак, если сумма первых шести членов равна , а сумма первого и четвертого члена равна .
Решение. Условию задачи соответствует система уравнений $LaTeX formula: \begin{cases} S_{6}=504,\\ b_{1}+b_{4}=24. \end{cases}$
Применяя формулы 6.4 и 6.5, запишем:

$LaTeX formula: \begin{cases} \frac{b_{1}(1-q^6)}{1-q} =504, \\ b_{1}+b_{1}q^3=24; \end{cases}$ $LaTeX formula: \begin{cases} \frac{b_{1}(1-q^3)(1+q^3)}{1-q} =504, \\ b_{1}(1+q^3)=24. \end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе:

$LaTeX formula: \frac{b_{1}(1-q^3)(1+q^3)}{(1-q)b_{1}(1+q^3) } =\frac{504}{24},1+q+q^2=21,q^2+q-20=0,$ откуда $LaTeX formula: q_{1}=4,q_{2}=-5$ .

Найдем первый член прогрессии, подставляя значения  в уравнение $LaTeX formula: b_{1}(1+q^3) =24$ :
если  , то $LaTeX formula: b_{1}=\frac{24}{65}$ ;
если  , то $LaTeX formula: b_{1}=-\frac{6}{31}$ .
Так как согласно условию задачи члены заданной геометрической прогрессии поочередно меняют знак, то знаменатель прогрессии равен .
Ответ: .

Пример 3. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна , а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна . Найдите четвертый член прогрессии.

Решение. Рассмотрим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $LaTeX formula: b_{1}$ и знаменателем :
$LaTeX formula: b_{1},b_{1}q,b_{1}q^2,b_{1}q^3,...$
Согласно формуле 6.7 запишем:
$LaTeX formula: \frac{b_{1}}{1-q}=16$ , $LaTeX formula: b_{1}=16\cdot (1-q)$ .
Рассмотрим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию $LaTeX formula: b_{1}^{2},b_{1}^{2}q^2,b_{1}^{2}q^4,b_{1}^{2}q^6,...$ с первым членом $LaTeX formula: b_{1}^{2}$ и знаменателем .
Согласно формуле 6.7 запишем:
$LaTeX formula: \frac{b_{1}^{2}}{1-q^2}=1536,b_{1}^{2} =1536\cdot (1-q^2)$ .
Зная, что $LaTeX formula: b_{1}=16\cdot (1-q),$ получим:
$LaTeX formula: q=-\frac{5}{7}$ .
Тогда $LaTeX formula: b_{1}=16\cdot \left (1+\frac{5}{7} \right ) =16\cdot \frac{12}{7}=\frac{192}{7}$ .
По формуле 6.4 найдем четвертый член этой прогрессии:
$LaTeX formula: b_{4}=\frac{192}{7}\cdot \left (-\frac{5}{7} \right )^3=-\frac{24000}{2401}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{24000}{2401}$ .
Пример 4. Найдите , если $LaTeX formula: a=\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}}$
Решение. Запишем
$LaTeX formula: a=m^{\frac{1}{2}}\cdot n^{\frac{1}{4}}\cdot m^{\frac{1}{8}}\cdot n^{\frac{1}{16}}\cdot m^{\frac{1}{32}}\cdot ...,$

$LaTeX formula: a=\left (m^{\frac{1}{2}}\cdot m^{\frac{1}{8}}\cdot m^{\frac{1}{32}}\cdot ... \right ) \cdot \left (n^{\frac{1}{4}}\cdot n^{\frac{1}{16}}\cdot n^{\frac{1}{64}}\cdot ... \right ),$

$LaTeX formula: a=m^{\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+...}\cdot n^{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...}.$

Рассмотрим показатели степеней:
1) $LaTeX formula: \frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+...$ – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой $LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{2}$ и $LaTeX formula: q=\frac{1}{4}$ . Тогда по формуле 6.7 $LaTeX formula: S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3};$
2) $LaTeX formula: \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...$ – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой $LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{4}$ и $LaTeX formula: q=\frac{1}{4}$ . Тогда по формуле 6.7 $LaTeX formula: S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3 }.$
Получим $LaTeX formula: a=m^{\frac{2}{3}}\cdot n^{\frac{1}{3}},$ откуда .
Ответ: .

Пример 5. Найдите сумму корней уравнения $LaTeX formula: x^{-1}+x+x^2+...+x^n+...=3,5$ , если $LaTeX formula: \left |x \right |<1$ .

Решение. Прибавляя к обеим частям уравнения число , запишем:
$LaTeX formula: \frac{1}{x}+1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{9}{2}$ .
Поскольку в левой части уравнения записана сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом $LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{x}$ и знаменателем , то согласно формуле 6.7 получим:
$LaTeX formula: \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1-x}=\frac{9}{2}, \frac{1}{x-x^2}=\frac{9}{2}, 9x^2-9x+2=0,$ откуда $LaTeX formula: x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=\frac{2}{3}$ .
Так как оба корня удовлетворяют условию $LaTeX formula: \left |x \right |<1$ , то найдем их сумму: $LaTeX formula: \frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$ .
Ответ: .

1. Знаменатель геометрической прогрессии q можно найти по формуле: $LaTeX formula: q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ .
2. Различайте формулы:
1) $LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}$ – сумма первых членов любой геометрической прогрессии;
2) $LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}$ – сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

3. Пример 4 можно решить иначе:

Возведем обе части исходного равенства дважды в квадрат:
$LaTeX formula: a^2=\left (\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}} \right )^2,$ $LaTeX formula: a^2=m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}} ,$
$LaTeX formula: a^4=m^2n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}} .$
Учитывая, что $LaTeX formula: a=\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}}$ , получим:
, откуда .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_2_геометрическая_прогрессия_

Геометрическая прогрессия

formula