Текстовые задачи /qualihelpy

Текстовые задачи

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Пропорции

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным.
Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k

:
$LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ .
Основное свойство пропорции:

если $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , то $LaTeX formula: a\cdot b=c\cdot d$ .

Процентом числа называют одну сотую часть этого числа: LaTeX formula: 1

% от числа LaTeX formula: a

равен

Задачи на проценты

1. Нахождение процента от числа:
LaTeX formula: p

% от числа LaTeX formula: a

равны $LaTeX formula: \frac{a}{100} \cdot p$ .

2. Нахождение числа по его проценту:
если LaTeX formula: p

% от некоторого числа равны LaTeX formula: b

, то это число равно $LaTeX formula: \frac{b}{p} \cdot 100$ .

3. Нахождение процентного отношения чисел:
процентное отношение числа LaTeX formula: a

к числу

равно $LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot 100$ %.

Соотношения между натуральными числами

Рассмотрим запись чисел в десятичной позиционной системе счисления.
Так, например, если LaTeX formula: a

– цифра десятков, LaTeX formula: b

– цифра единиц, то запишем:
$LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b$ .

Аналогично запишем трехзначное число, у которого LaTeX formula: a

– цифра сотен, LaTeX formula: b

– цифра десятков, LaTeX formula: c

– цифра единиц:
$LaTeX formula: \overline{abc}=100a+10b+c$ .

Задачи на движение

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, содержат следующие величины: расстояние LaTeX formula: S

, скорость LaTeX formula: V

, время

.
Связь между этими величинами выражается формулой: LaTeX formula: S=vt

Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки:
LaTeX formula: V

по теч. =

с. +

теч.

Если тело движется против течения реки, то LaTeX formula: V

пр. теч. = LaTeX formula: V

c. –

теч.

Если речь идет о движении плота, то его скорость равна скорости движения реки.

Задачи на работу

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, содержат следующие величины: работу LaTeX formula: A

, скорость выполнения работы (производительность) LaTeX formula: V

, время выполнения работы LaTeX formula: t

.
Эти величины связаны формулой: LaTeX formula: A=vt

Смеси, сплавы

Задачи на смеси и сплавы удобно решать, учитывая пропорциональную зависимость между величинами. При помощи пропорции они сводятся к одной схеме решения.

Пример 1. На экзамене по математике LaTeX formula: 15

% поступающих не решили ни одной задачи, LaTeX formula: a

человек решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5 : 3

. Определите, сколько человек присутствовало на экзамене. Укажите наименьшее значение параметра LaTeX formula: a

.
Решение. Запишем условие задачи:

Пояснения к условию задачи:
а) если экзаменовалось LaTeX formula: x

человек, то LaTeX formula: 15

% от

равны

;
б) если число решивших верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5:3

, то, вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k

, получим: не решили ни одной задачи LaTeX formula: 3k

человек, решили верно все задачи LaTeX formula: 5k

человек.
Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:
$LaTeX formula: \begin{cases} & \ \frac{3}{20}\cdot x=3k, \\ & \ 3k+a+5k=x; \end{cases}$ $LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=20k, \\ & \ k=\frac{a}{12}; \end{cases}$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=\frac{5a}{3} ,& \\ k=\frac{a}{12} .& \end{matrix}\right.$
Следовательно, на экзамене присутствовало $LaTeX formula: \frac{5a}{3}$ человек.
Поскольку согласно условию задачи $LaTeX formula: \frac{5a}{3}$ целое положительное число, то LaTeX formula: a=3n

при $LaTeX formula: n\in N$ и наименьшее значение LaTeX formula: a

равно

.
Ответ: $LaTeX formula: \frac{5a}{3} ;a=3.$

Пример 2. Цену товара сначала снизили на LaTeX formula: 20

%, затем новую цену снизили еще на LaTeX formula: 15

% и, наконец, произвели снижение еще на LaTeX formula: 10

%. На сколько процентов необходимо повысить последнюю цену товара, чтобы получить его первоначальную цену?
Решение. Пусть первоначальная цена товара была LaTeX formula: a

ден. ед.
Согласно условию задачи составим и решим пропорции:

1) первоначальная цена LaTeX formula: a

–

%,
цена после LaTeX formula: I

снижения

– 80%,
откуда $LaTeX formula: x=\frac{80a}{100}=\frac{4}{5}a$ (ден. ед.);

2) цена после LaTeX formula: I

снижения $LaTeX formula: \frac{4}{5}a$ – 100%,
цена после LaTeX formula: II

снижения

– 85%,

откуда $LaTeX formula: y=\frac{4a\cdot 85}{5\cdot 100}=\frac{17a}{25}$ (ден. ед.);

3) цена после LaTeX formula: II

снижения $LaTeX formula: \frac{17a}{25}$ – 100%,
цена после LaTeX formula: III

снижения

– 90%,

откуда $LaTeX formula: z=\frac{17a\cdot 90}{25\cdot 100}=\frac{153a}{250}$ (ден. ед.);

4) первоначальная цена LaTeX formula: a-(100+n)

%,
конечная цена $LaTeX formula: \frac{153a}{250}-100$ %,

откуда $LaTeX formula: 100+n=\frac{100a\cdot 250}{153a}$ , $LaTeX formula: n=63\frac{61}{153}$ %.

Ответ: на $LaTeX formula: 63\frac{61}{153}$ %.

Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна LaTeX formula: 10

. Если к этому числу прибавить LaTeX formula: 18

, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Решение. Пусть исходное число $LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b$ , где LaTeX formula: a

цифры.
Согласно условию задачи составим систему уравнений:
$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b= 10,& \\ \overline{ab}+18=\overline{ba}. & \end{matrix}\right.$
Упростим второе уравнение системы:
LaTeX formula: 10a+b+18=10b+a

.
Сложим уравнения системы: LaTeX formula: 2a=8, a=4.

Подставляя значение LaTeX formula: a=4

в уравнение LaTeX formula: a-b=-2

, получим

.
Запишем искомое число: $LaTeX formula: \overline{ab}=46$ .
Ответ: LaTeX formula: 46

Пример 4. Товарный поезд был задержан в пути на LaTeX formula: 12

мин, а затем на расстоянии LaTeX formula: 60

км наверстал упущенное время. Как изменилась при этом его скорость, если первоначально он проходил LaTeX formula: 60

километров за один час?
Решение. Полагая, что первоначальная скорость поезда увеличилась на LaTeX formula: x

км/ч, составим таблицу:

Так как время движения поезда сократилось на LaTeX formula: 12

мин, что составляет $LaTeX formula: \frac{1}{5}$ ч, то согласно условию задачи получим уравнение:
$LaTeX formula: 1=\frac{60}{60+x}+\frac{1}{5}, \frac{60}{60+x}=\frac{4}{5},\frac{15}{60+x}=\frac{1}{5}, 60+x=75, x=15$ км/ч.

Ответ: увеличилась на LaTeX formula: 15

км/ч.

Пример 5. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за LaTeX formula: 6

мин. Расстояние между пунктами LaTeX formula: 60

км. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна LaTeX formula: 4

км/ч.
Решение. Пусть собственная скорость лодки равна LaTeX formula: x

км/ч.
Составим таблицу:

Так как

мин $LaTeX formula: =6\frac{15}{60}$ ч $LaTeX formula: =\frac{25}{4}$ ч и LaTeX formula: t

по теч.+

пр. теч. = $LaTeX formula: \frac{25}{4}$ ч, то получим уравнение:

$LaTeX formula: \frac{60}{x+4}+\frac{60}{x-4}=\frac{25}{4}$ , $LaTeX formula: \frac{12}{x+4}+\frac{12}{x-4}=\frac{5}{4}$ , $LaTeX formula: \frac{24x}{x^2-16}=\frac{5}{4}$ ,

, откуда

км/ч.
Ответ: LaTeX formula: 20

км/ч.

Пример 6. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c

быстрее второго и догоняет второе тело каждые LaTeX formula: 12 c

. За сколько секунд второе тело пройдет $LaTeX formula: \frac{2}{3}$ окружности?
Решение. Пусть длина окружности равна LaTeX formula: l

.
Составим таблицу, учитывая, что первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c

быстрее второго.

Зная скорость движения каждого тела, составим таблицу, учитывая, что первое тело догоняет второе каждые LaTeX formula: 12c

Согласно условию задачи второе тело догоняет первое, значит, оно проходит путь $LaTeX formula: S_{2}=S_{1}+l$ .
Получим уравнение $LaTeX formula: \frac{12l}{x}-\frac{12l}{x+2}=l$ .
Разделив обе части уравнения на LaTeX formula: l

( $LaTeX formula: l\neq 0$ ), запишем:
$LaTeX formula: 12 \left (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )=1$ , $LaTeX formula: 12\cdot \frac{x+2-x}{x(x+2)}=1$ , LaTeX formula: x^2+2x-24=0

, откуда

.
Найдем время, за которое второе тело проходит всю окружность:
LaTeX formula: 4+2=6

(с).
Найдем время, за которое второе тело проходит $LaTeX formula: \frac{2}{3}$ окружности:
$LaTeX formula: \frac{2}{3}\cdot 6=4$ (с).
Ответ: LaTeX formula: 4c

Пример 7. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за LaTeX formula: 8

ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на LaTeX formula: 12

ч быстрее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий может выполнить LaTeX formula: 70

% задания?
Решение. Пусть LaTeX formula: a

– объем задания.
Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый рабочий в таком случае выполняет весь объем задания:

Зная производительность каждого рабочего, рассмотрим совместную работу:

Согласно условию задачи запишем и решим уравнение:
$LaTeX formula: \frac{8a}{x-12}+\frac{8a}{x}=a$ , $LaTeX formula: 8\left (\frac{1}{x-12}+\frac{1}{x} \right )=1$ , $LaTeX formula: 8\frac{x+x-12}{(x-12)x}=1$ ,
LaTeX formula: 16x-98=x^2-12x