Текстовые задачи

Справочник / Абитуриент / Уравнения / Текстовые задачи
Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты
Пропорции
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным.
Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k:
LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k.
Основное свойство пропорции:
если LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}, то LaTeX formula: a\cdot b=c\cdot d.
Процентом числа называют одну сотую часть этого числа: LaTeX formula: 1 % от числа LaTeX formula: a равен LaTeX formula: 0,01 a.
Задачи на проценты
1. Нахождение процента от числа: 
LaTeX formula: p% от числа LaTeX formula: a равны  LaTeX formula: \frac{a}{100} \cdot p . 
2. Нахождение числа по его проценту: 
если LaTeX formula: p% от некоторого числа равны LaTeX formula: b , то это число равно LaTeX formula: \frac{b}{p} \cdot 100 . 
3. Нахождение процентного отношения чисел: 
процентное отношение числа LaTeX formula: a к числу LaTeX formula: b равно  LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot 100%. 
Соотношения между натуральными числами
Рассмотрим запись чисел в десятичной позиционной системе счисления.
Так, например, если LaTeX formula: a – цифра десятков, LaTeX formula: b – цифра единиц, то запишем:
 LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b. 
Аналогично запишем трехзначное число, у которого LaTeX formula: a – цифра сотен, LaTeX formula: b – цифра десятков, LaTeX formula: c – цифра единиц:
 LaTeX formula: \overline{abc}=100a+10b+c  .
Задачи на движение
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, содержат следующие величины: расстояние LaTeX formula: S, скорость LaTeX formula: V, время LaTeX formula: t.
Связь между этими величинами выражается формулой: LaTeX formula: S=vt .
Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки:
 LaTeX formula: V по теч. = LaTeX formula: V с. + LaTeX formula: V теч.
Если тело движется против течения реки, то LaTeX formula: V пр. теч. = LaTeX formula: V c. –LaTeX formula: V теч.
Если речь идет о движении плота, то его скорость равна скорости движения реки.
Задачи на работу
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, содержат следующие величины: работу LaTeX formula: A, скорость выполнения работы (производительность) LaTeX formula: V, время выполнения работы LaTeX formula: t.
Эти величины связаны формулой: LaTeX formula: A=vt .
Смеси, сплавы
Задачи на смеси и сплавы удобно решать, учитывая пропорциональную зависимость между величинами. При помощи пропорции они сводятся к одной схеме решения.
Пример 1. На экзамене по математике LaTeX formula: 15 % поступающих не решили ни одной задачи, LaTeX formula: a человек решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5 : 3. Определите, сколько человек присутствовало на экзамене. Укажите наименьшее значение параметра LaTeX formula: a. 
Решение. Запишем условие задачи: 
Пояснения к условию задачи: 
а) если экзаменовалось LaTeX formula: x человек, то LaTeX formula: 15 % от LaTeX formula: x равны LaTeX formula: 0,15x; 
б) если число решивших верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5:3 , то, вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k, получим: не решили ни одной задачи LaTeX formula: 3k человек, решили верно все задачи LaTeX formula: 5k человек. 
Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:
 LaTeX formula: \begin{cases} & \ \frac{3}{20}\cdot x=3k, \\ & \ 3k+a+5k=x; \end{cases} LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=20k, \\ & \ k=\frac{a}{12}; \end{cases} LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=\frac{5a}{3} ,& \\ k=\frac{a}{12} .& \end{matrix}\right. 
Следовательно, на экзамене присутствовало  LaTeX formula: \frac{5a}{3} человек.
Поскольку согласно условию задачи LaTeX formula: \frac{5a}{3}  целое положительное число, то LaTeX formula: a=3n  при LaTeX formula: n\in N  и наименьшее значение LaTeX formula: a равно LaTeX formula: 3. 
Ответ: LaTeX formula: \frac{5a}{3} ;a=3.
Пример 2. Цену товара сначала снизили на LaTeX formula: 20 %, затем новую цену снизили еще на LaTeX formula: 15 % и, наконец, произвели снижение еще на LaTeX formula: 10 %. На сколько процентов необходимо повысить последнюю цену товара, чтобы получить его первоначальную цену? 
Решение. Пусть первоначальная цена товара была LaTeX formula: a  ден. ед. 
Согласно условию задачи составим и решим пропорции: 
1) первоначальная цена         LaTeX formula: a – LaTeX formula: 100 %, 
   цена после LaTeX formula: I снижения        LaTeX formula: x  – 80%, 
откуда  LaTeX formula: x=\frac{80a}{100}=\frac{4}{5}a (ден. ед.);
2) цена после LaTeX formula: I снижения   LaTeX formula: \frac{4}{5}a  – 100%, 
    цена после LaTeX formula: II снижения    LaTeX formula: y  – 85%,
откуда LaTeX formula: y=\frac{4a\cdot 85}{5\cdot 100}=\frac{17a}{25}  (ден. ед.);
3) цена после LaTeX formula: II снижения   LaTeX formula: \frac{17a}{25}  – 100%, 
    цена после LaTeX formula: III снижения     LaTeX formula: z   – 90%,
откуда  LaTeX formula: z=\frac{17a\cdot 90}{25\cdot 100}=\frac{153a}{250} (ден. ед.);
4) первоначальная цена      LaTeX formula: a-(100+n)  %,
   конечная цена                LaTeX formula: \frac{153a}{250}-100 %,
откуда LaTeX formula: 100+n=\frac{100a\cdot 250}{153a}, LaTeX formula: n=63\frac{61}{153} %.
Ответ:  на LaTeX formula: 63\frac{61}{153} %.
Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна LaTeX formula: 10. Если к этому числу прибавить LaTeX formula: 18 , то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число. 
Решение. Пусть исходное число  LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b цифры. 
Согласно условию задачи составим систему уравнений: 
 LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b= 10,& \\ \overline{ab}+18=\overline{ba}. & \end{matrix}\right.  
Упростим второе уравнение системы: 
 LaTeX formula: 10a+b+18=10b+a, LaTeX formula: 9a-9b=-18, LaTeX formula: a-b=-2. 
Сложим уравнения системы: LaTeX formula: 2a=8, a=4. 
Подставляя значение LaTeX formula: a=4  в уравнение LaTeX formula: a-b=-2 , получим LaTeX formula: b=6 . 
Запишем искомое число: LaTeX formula: \overline{ab}=46  . 
Ответ: LaTeX formula: 46.
Пример 4. Среднее геометрическое двух положительных чисел на LaTeX formula: 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на LaTeX formula: 24  меньше большего числа. Сколько процентов составляет среднее геометрическое этих чисел от их среднего арифметического? 
Решение. Пусть искомые числа LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, причем LaTeX formula: a>b>0.
Составим и решим систему уравнений:
 LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \sqrt{a\cdot b}=b+12, & \\ \frac{a+b}{2}+24=a. & \end{matrix}\right.
Выразим LaTeX formula: a из второго уравнения системы:
 LaTeX formula: a+b+48=2a,a=b+48  .
Подставим полученное значение LaTeX formula: a в первое уравнение системы и найдем значение LaTeX formula: b:  
LaTeX formula: b^2+48b=b^2+24b+144, LaTeX formula: 24b=144, LaTeX formula: b=6. 
Подставляя значение LaTeX formula: b=6  в уравнение LaTeX formula: a=b+48, получим  LaTeX formula: a=54 . 
Найдем среднее арифметическое чисел LaTeX formula: 54 и LaTeX formula: 6 : 
 LaTeX formula: \frac{54+6}{2}=30 . 
Найдем среднее геометрическое чисел LaTeX formula: 54 и LaTeX formula: 6 :
 LaTeX formula: \sqrt{54\cdot 6}=18 . 
Найдем процентное отношение среднего геометрического этих чисел от и их среднего арифметического: 
LaTeX formula: \frac{18}{30}\cdot 100 %=LaTeX formula: 60 %. 
Ответ: LaTeX formula: 60 %.
Пример 5. Товарный поезд был задержан в пути на LaTeX formula: 12 мин, а затем на расстоянии LaTeX formula: 60 км наверстал упущенное время. Как изменилась при этом его скорость, если первоначально он проходил LaTeX formula: 60километров за один час? 
Решение. Полагая, что первоначальная скорость поезда увеличилась на LaTeX formula: x км/ч, составим таблицу:
Так как время движения поезда сократилось на LaTeX formula: 12 мин, что составляет LaTeX formula: \frac{1}{5} ч, то согласно условию задачи получим уравнение: 
LaTeX formula: 1=\frac{60}{60+x}+\frac{1}{5}, \frac{60}{60+x}=\frac{4}{5},\frac{15}{60+x}=\frac{1}{5}, 60+x=75, x=15 км/ч. 
Ответ: увеличилась на LaTeX formula: 15 км/ч.
Пример 6. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за LaTeX formula: 6 ч LaTeX formula: 15 мин. Расстояние между пунктами LaTeX formula: 60 км. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна LaTeX formula: 4 км/ч. 
Решение. Пусть собственная скорость лодки равна LaTeX formula: x км/ч.
Составим таблицу:
Так как  LaTeX formula: 6 ч LaTeX formula: 15 мин LaTeX formula: =6\frac{15}{60} чLaTeX formula: =\frac{25}{4} ч и LaTeX formula: t по теч.+ LaTeX formula: t пр. теч. = LaTeX formula: \frac{25}{4} ч, то получим уравнение: 
LaTeX formula: \frac{60}{x+4}+\frac{60}{x-4}=\frac{25}{4}, LaTeX formula: \frac{12}{x+4}+\frac{12}{x-4}=\frac{5}{4}, LaTeX formula: \frac{24x}{x^2-16}=\frac{5}{4}, 
LaTeX formula: x^2-96x-80=0, откуда LaTeX formula: x=20 км/ч. 
Ответ: LaTeX formula: 20 км/ч.
Пример 7. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c быстрее второго и догоняет второе тело каждые LaTeX formula: 12 c. За сколько секунд второе тело пройдет LaTeX formula: \frac{2}{3}  окружности? 
Решение. Пусть длина окружности равна LaTeX formula: l.
Составим таблицу, учитывая, что первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c быстрее второго.
Зная скорость движения каждого тела, составим таблицу, учитывая, что первое тело догоняет второе каждые LaTeX formula: 12c:
Согласно условию задачи второе тело догоняет первое, значит, оно проходит путь LaTeX formula: S_{2}=S_{1}+l .
Получим уравнение  LaTeX formula: \frac{12l}{x}-\frac{12l}{x+2}=l.
Разделив обе части уравнения на LaTeX formula: l ( LaTeX formula: l\neq 0), запишем:
LaTeX formula: 12 \left (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )=1, LaTeX formula: 12\cdot \frac{x+2-x}{x(x+2)}=1, LaTeX formula: x^2+2x-24=0, откуда LaTeX formula: x=4. 
Найдем время, за которое второе тело проходит всю окружность: 
LaTeX formula: 4+2=6  (с).
Найдем время, за которое второе тело проходит LaTeX formula: \frac{2}{3}  окружности:
 LaTeX formula: \frac{2}{3}\cdot 6=4 (с). 
Ответ: LaTeX formula: 4c.
Пример 8. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за LaTeX formula: 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на LaTeX formula: 12 ч быстрее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий может выполнить LaTeX formula: 70 % задания? 
Решение. Пусть LaTeX formula: a – объем задания. 
Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый рабочий в таком случае выполняет весь объем задания:
Зная производительность каждого рабочего, рассмотрим совместную работу: 
Согласно условию задачи запишем и решим уравнение:
 LaTeX formula: \frac{8a}{x-12}+\frac{8a}{x}=a, LaTeX formula: 8\left (\frac{1}{x-12}+\frac{1}{x} \right )=1, LaTeX formula: 8\frac{x+x-12}{(x-12)x}=1, 
LaTeX formula: 16x-98=x^2-12x, LaTeX formula: x^2-28x+96=0,  откуда LaTeX formula: x=24 . 
Если все задание второй рабочий может выполнить за LaTeX formula: 24 ч, то LaTeX formula: 70 % задания он выполнит за 
 LaTeX formula: \frac{24}{100}\cdot 70=16,8 (ч). 
Ответ: LaTeX formula: 16,8 ч.
Пример 9. Через LaTeX formula: 1 час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось LaTeX formula: a тонн, а еще через LaTeX formula: 3 часа LaTeX formula: b тонн. Сколько воды было в бассейне? 
Решение. Пусть в бассейне было LaTeX formula: x тонн воды.
Если за LaTeX formula: 1 час вытекает LaTeX formula: y тонн воды, то через 1 час после спуска в бассейне останется LaTeX formula: x-y=a  или  LaTeX formula: 4x-4y=4a тонн воды.
Через LaTeX formula: 4 часа останется LaTeX formula: x-4y=b  тонн воды.
Вычитая из уравнения LaTeX formula: 4x-4y=4a  уравнение LaTeX formula: x-4y=b , получим:
 LaTeX formula: 3x=4a-b, x=\frac{4a-b}{3}  (т). 
Ответ: LaTeX formula: \frac{4a-b}{3} тонн.
Пример 10. Смешали LaTeX formula: 30 % - й раствор соляной кислоты с LaTeX formula: 10 %-м и получили один килограмм LaTeX formula: 15%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? 
Решение. Пусть первого раствора взяли LaTeX formula: a г, а второго LaTeX formula: b г.
Зная,что в первом растворе содержится LaTeX formula: 30 % кислоты, запишем: 

Зная, что во втором растворе содержится LaTeX formula: 10 % кислоты, запишем: 

Если смешать LaTeX formula: a г первого и LaTeX formula: b г второго раствора, то получим третий раствор: 

Запишем пропорцию:
 LaTeX formula: (0,3a+0,1b)-15% % 
  LaTeX formula: 1000 - 100  % 
Тогда  LaTeX formula: (0,3a+0,1b)\cdot 100=1000\cdot 15, 
LaTeX formula: 0,3a+0,1b=150, откуда LaTeX formula: 3a+b=1500. 
Так как согласно условию задачи  LaTeX formula: a+b=1000, то, вычитая из уравнения LaTeX formula: 3a+b=1500  уравнение LaTeX formula: a+b=1000 , получим:
 LaTeX formula: 2a=500, a=250. 
Подставляя значение LaTeX formula: a=250  в уравнение LaTeX formula: a+b=1000 , найдем значение LaTeX formula: b:
LaTeX formula: b=1000-250=750. 
Ответ: LaTeX formula: 250 г и LaTeX formula: 750 г. 
Пример 11. Кусок сплава меди и цинка массой LaTeX formula: 54 кг содержит LaTeX formula: 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал LaTeX formula: 60 % меди? 
Решение. 
Найдем массу меди в сплаве:
 LaTeX formula: \frac{54\cdot 45}{100}=24,3 (кг).
Найдем массу цинка в сплаве: 
LaTeX formula: 54-24,3=29,7 (кг).
Добавляя в сплав LaTeX formula: x кг меди, и не изменяя при этом массу цинка, получим новый сплав:   

Решим пропорцию: 
LaTeX formula: 40\cdot (24,3+x)=60\cdot 29,7 , откуда LaTeX formula: x=20,25. 
Ответ: LaTeX formula: 20,25 кг.
Программа для просмотра моделей (МК-плеер)
m_1_соотношения_между_числамиm_2_процентыm_3_движениеm_4_работаm_5_смеси_и_сплавы
© Сиротина И.К., 2013—2025
formula