Тригонометрические уравнения /qualihelpy

Тригонометрические уравнения

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Тригонометрическими называют уравнения, содержащие тригонометрические функции.

Например, уравнения $LaTeX formula: \cos 2x-5\sin x=3$ и $LaTeX formula: 5\textrm{tg}^2x+6\textrm{tg}x-7=0$ – тригонометрические.

Простейшие тригонометрические уравнения

1. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \sin x=a$ , то при условии, что $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1$ , $LaTeX formula: k\in \textrm{Z}$ ,

$LaTeX formula: x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$ . (5.20)

Частные случаи:
а) если $LaTeX formula: \sin x=0$ , то $LaTeX formula: x=\pi k, k\in Z$ ; (5.21)

б) если $LaTeX formula: \sin x=1$ , то $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z$ ; (5.22)

в) если $LaTeX formula: \sin x=1$ , то $LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in$ LaTeX formula: Z

. (5.23)

2. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \cos x=a$ , то при условии, что $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1,n\in Z$ ,

$LaTeX formula: x=\pm \arccos a+2\pi n$ . (5.24)

Частные случаи:
а) если $LaTeX formula: \cos x=0$ , то $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z ;$ (5.25)

б) если $LaTeX formula: \cos x=1$ , то $LaTeX formula: x=2\pi n,n\in Z$ ; (5.26)

в) если $LaTeX formula: \cos x=-1$ , то $LaTeX formula: x=\pi +2\pi n ,n\in Z$ . (5.27)

3. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \textrm{tg}x=a$ , то при $LaTeX formula: a\in R,n\in Z$ ,

$LaTeX formula: x=\textrm{arctg}a+\pi n$ . (5.28)

4. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \textrm{ctg}x=a$ , то при $LaTeX formula: a\in R,n\in$ LaTeX formula: Z

$LaTeX formula: x=\textrm{arcctg}a+\pi n$ . (5.29)

Методы решений тригонометрических уравнений

1. Решение однородных уравнений относительно $LaTeX formula: \sin x$ x и $LaTeX formula: \cos x$ .

Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида:
$LaTeX formula: a\sin x+b\cos x=0$ . (5.30)

Чтобы решить однородное уравнение, необходимо разделить обе его части на $LaTeX formula: \cos x\neq 0$ :

$LaTeX formula: \frac{a\sin x}{\cos x}+\frac{b\cos x}{\cos x}=\frac{0}{\cos x}$ или $LaTeX formula: a\textrm{tg}x+b=0$ ,

откуда $LaTeX formula: \textrm{tg}x=-\frac{b}{a}$ , $LaTeX formula: x=-\textrm{arctg}\left (\frac{b}{a} \right )+\pi n$ , где $LaTeX formula: n\in \textrm{Z}$ .

Однородным уравнением второй степени называют уравнение вида:
$LaTeX formula: a\sin^2x+b\sin x\cos x+c \cos^2x=0$ . (5.31)

Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить обе его части на $LaTeX formula: \cos^2x\neq 0$ :

$LaTeX formula: \frac{a\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{b\sin x\cos x}{\cos^2x}+\frac{c\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{0}{\cos^2x}$ или $LaTeX formula: a\textrm{tg}^2x+b\textrm{tg}x+c=0$ .

Решая квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: \textrm{tg}x$ , получим простейшие уравнения вида $LaTeX formula: \textrm{tg}x=a$ .

2. Решение методом введения вспомогательного аргумента уравнений вида:
$LaTeX formula: a\sin x+b\cos x=c$ . (5.32)

Чтобы ввести вспомогательный аргумент, необходимо разделить обе части уравнения 5.32 на число
$LaTeX formula: \sqrt{a^2+b^2}$ , т. е. записать данное уравнение в виде:
$LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . (5.32.1)
Применяя подстановку $LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\alpha$ и $LaTeX formula: \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\alpha$ , получим:
$LaTeX formula: \cos\alpha \sin x+\sin\alpha \cos\x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , откуда $LaTeX formula: \sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .
Решая это уравнение при условии, что $LaTeX formula: \left |\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1$ , найдем значения переменной LaTeX formula: x

:
$LaTeX formula: x=(-1)^{k} \arcsin \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} -\alpha +\pi k$ , где $LaTeX formula: k\in \textrm{Z}$ .

Вспомогательный аргумент $LaTeX formula: \alpha$ может быть записан в виде:
$LaTeX formula: \alpha =\arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ или $LaTeX formula: \alpha =\arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

3. Решение уравнений помощью универсальной тригонометрической подстановки:
$LaTeX formula: \sin x=\frac{2\textrm{tg}\frac{x}{2}}{1+\textrm{tg}^2\frac{x}{2}}$ и $LaTeX formula: \cos x=\frac{1-\textrm{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\textrm(tg)^2\frac{x}{2}}$ .
В результате подстановки изменится область определения уравнения, что может привести к потере корней.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки можно решать и уравнение вида:
$LaTeX formula: a\sin x+b\cos x=c$ .
Решая квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: \textrm{tg}\frac{x}{2}$ , найдем корни уравнения.

Пример 1. Решите уравнение $LaTeX formula: \sin^2 2x+\frac{7}{3}\cos 2x=1$ .

Решение. Зная, что   $LaTeX formula: \sin^22x+\cos^22x=1$ , запишем: $LaTeX formula: \sin^22x=1-\cos^22x$ .
Подставляя значение $LaTeX formula: \sin^22x$ в исходное уравнение, получим:
$LaTeX formula: 3(1-\cos^22x)+7\cos 2x-3=0$ ,
$LaTeX formula: 3\cos^22x-7\cos 2x=0$ ,
$LaTeX formula: \cos 2x(3\cos 2x-7)=0$ .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух простейших уравнений:
1)   $LaTeX formula: \cos 2x=0$ , откуда по формуле 5.25
$LaTeX formula: 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n, x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2},$ где $LaTeX formula: n\in Z$ ;
2)   $LaTeX formula: \cos 2x=\frac{7}{3}$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ , поскольку областью значений функции $LaTeX formula: y=\cos 2x$   является отрезок LaTeX formula: [-1;1]

, а число $LaTeX formula: \frac{7}{3}$ не принадлежит этому отрезку.
Ответ: $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2}, n\in Z$ .

Пример 2. Найдите сумму всех корней уравнения $LaTeX formula: \sin ^2 \left (\frac{5\pi }{2}-x \right )+\frac{1}{2}\sin 2x=1$ , принадлежащих отрезку $LaTeX formula: [-\pi;0]$ .

Решение. Учитывая основной период функции синус и применяя формулу приведения, получим:
$LaTeX formula: \cos^2x+\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=\sin^2x+\cos^2x$ ,
$LaTeX formula: \sin x\cos x-\sin^2x=0$ , $LaTeX formula: \sin x(\cos x-\sin x)=0$ .

Решим уравнения:
1) $LaTeX formula: \sin x=0$ , откуда по формуле 5.21 получим: $LaTeX formula: x=0+\pi n, n\in Z$ ;

2) $LaTeX formula: \cos x-\sin x=0$ , $LaTeX formula: \frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{0}{\cos x}$ , $LaTeX formula: 1-\textrm{tg}x=0$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}x=1$ ,

откуда по формуле 5.28 получим: $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m, m\in Z$ .

Произведем отбор корней уравнения на отрезке $LaTeX formula: [-\pi;0]$ (рис. 5.9).

Если $LaTeX formula: x=0+\pi n,$ то при LaTeX formula: n=0

получим $LaTeX formula: x_{1}=0$ , а при LaTeX formula: n=-1

получим $LaTeX formula: x_{2}=-\pi$ .

Если $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m$ , то при LaTeX formula: m=-1

получим $LaTeX formula: x_{3}=-\frac{3\pi }{4}$ .

Найдем сумму полученных корней уравнения: $LaTeX formula: -\pi-\frac{3\pi }{4}+0=-\frac{7\pi }{4}$ .
Ответ: $LaTeX formula: -\frac{7\pi }{4}$ .

Пример 3. Укажите количество корней уравнения $LaTeX formula: 6 \sin^2x+3\sin x\cos x-5\cos^2x-2=0$ , принадлежащих отрезку $LaTeX formula: [0;\pi]$ .

Решение. Так как $LaTeX formula: 2=2\sin^2x+2\cos^2x$ , то
$LaTeX formula: 6\sin^2x+3\sin x\cos x-5\cos^2x-2\sin^2x-2\cos^2x=0$ ,
$LaTeX formula: 4\sin^2x+3\sin x\cos x-7\cos^2x=0$ .
Получили уравнение вида 5.31.
Разделим обе его части на $LaTeX formula: \cos^2x$ и решим квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: \textrm{tg}x$ :
$LaTeX formula: 4\textrm{tg}^2x+3\textrm{tg}x-7=0$ , откуда $LaTeX formula: \textrm{tg}x=-\frac{7}{4}$ и $LaTeX formula: \textrm{tg}x=1$ .
На отрезке $LaTeX formula: [0;\pi]$ построим графики функций $LaTeX formula: y=\textrm{tg}x$ , LaTeX formula: y=1

и $LaTeX formula: y=-\frac{7}{4}$ (рис. 5.10).

Так как график функции $LaTeX formula: y=\textrm{tg}x$ пересекает прямые LaTeX formula: y=1

и $LaTeX formula: y=-\frac{7}{4}$ в двух точках, то исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: LaTeX formula: 2

Пример 4. Решите уравнение $LaTeX formula: 3\sin 5x-2\cos 5x=3$ .

Решение. Имеем уравнение 5.31, которое приведем к виду 5.32.1.
Разделив обе части уравнения на число $LaTeX formula: \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ , получим:
$LaTeX formula: \frac{3}{\sqrt{13}}\sin 5x-\frac{2}{\sqrt{13}}\cos 5x=\frac{3}{\sqrt{13}}$ .

Применим подстановку $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \cos \alpha= \frac{3}{\sqrt{13}}, \\ \sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}, \end{matrix}\right.$ откуда $LaTeX formula: \alpha =\arcsin \frac{2}{\sqrt{13}}$ .
Уравнение примет вид:
$LaTeX formula: \cos\alpha \sin 5x-\sin\alpha \cos 5x=\frac{3}{\sqrt{13}}$ или $LaTeX formula: \sin(5x-\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}}$ .
По формуле 5.20, получим:
$LaTeX formula: 5x-\alpha =(-1)^k \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\pi k$ , где $LaTeX formula: k\in\textrm{Z}$ ,
$LaTeX formula: 5x =(-1)^k \arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\alpha+\pi k$ , где $LaTeX formula: k\in\textrm{Z}$ ,
$LaTeX formula: x =(-1)^k \frac{1}{5} \arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k$ , где $LaTeX formula: k\in\textrm{Z}$ .

Ответ: $LaTeX formula: x =(-1)^k \frac{1}{5} \arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k$ , $LaTeX formula: k\in\textrm{Z}$ .

Пример 5. Найдите среднее арифметическое корней уравнения $LaTeX formula: \arccos(2x^2+3x-8)=0$ .

Решение. Зная, что областью определения функции арккосинус является отрезок LaTeX formula: [-1;1]

, запишем ОДЗ уравнения:
$LaTeX formula: -1\leq 2x^2+3x-8\leq 1$ .
Заменим данное уравнение равносильным ему на ОДЗ уравнением:
$LaTeX formula: 2x^2+3x-8=\cos 0$ или LaTeX formula: 2x^2+3x-9=0

, откуда $LaTeX formula: x_{1}=-3$ и LaTeX formula: x_2=1,5

.
Так как оба полученных корня принадлежат области допустимых значений уравнения, то найдем их среднее арифметическое:
LaTeX formula: (-3+1,5):2=-0,75

.
Ответ: LaTeX formula: -0,75

Пример 6. Найдите число решений уравнения $LaTeX formula: \cos 3x+\sin 2y=2$ , если $LaTeX formula: x,y \in \left [-\frac{\pi }{2};\pi \right ]$ .

Решение.Так как $LaTeX formula: \left |\cos 3x \right |\leq 1$ и $LaTeX formula: \left |\sin 2y \right |\leq 1$ , то данное уравнение равносильно системе уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \cos 3x=1,\\ \sin2 y=1; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} 3x=2\pi m,\\ 2y=\frac{\pi }{2}+2\pi n;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \begin{cases} x=\frac{2\pi m}{3},m\in Z \\ y=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z. \end{cases}$

Проведем отбор корней уравнения на отрезке $LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2};\pi \right ]$ :
если LaTeX formula: m=0

, то $LaTeX formula: x_{1}=0$ ; если LaTeX formula: m=1

, то $LaTeX formula: x_{2}=\frac{2\pi }{3}$ ; если LaTeX formula: n=0

, то $LaTeX formula: y=\frac{\pi }{4}$ .
Получили две пары решений уравнения: $LaTeX formula: \left (0;\frac{\pi }{4} \right )$ и $LaTeX formula: \left (\frac{2\pi }{3} ;\frac{\pi }{4} \right )$ .
Ответ: LaTeX formula: 2

1. Уравнения $LaTeX formula: \sin x=a$ и $LaTeX formula: \cos x=a$ имеют решения только при $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1$ .

2. Уравнения $LaTeX formula: \textrm{tg}x=a$ и $LaTeX formula: \textrm{ctg}x=a$ имеют решения при $LaTeX formula: a\in \textrm{R}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания
m_9_тригонометрические_уравнения

Тригонометрические уравнения