Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и числа нуль.
Множество всех целых чисел обозначают  .
Это множество чисел бесконечно: …, ,  ,  ,  ,  ,  ,  , … . 

Числовая ось или числовая прямая – это прямая, на которой определено начало отсчета, направление отсчета и единичный отрезок.
На рисунке 1.1 точка  – начало отсчета, отрезок  имеет длину, равную единице, а стрелка указывает положительное направление отсчета. Начало отсчета (точка  ) и число нуль совпадают.
Числа, расположенные на числовой оси справа от начала отсчета, называют положительными числами, а числа, расположенные слева от начала отсчета, называют отрицательными. 

Перед отрицательными числами всегда ставят знак «  ». Натуральные числа – положительные. Перед положительными числами можно поставить знак «  ». 

Числа  и   называют противоположными. 
Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. 
Н а п р и м е р,  ;  .

Из двух чисел больше то число, которое расположено правее на числовой прямой, и меньше то число, которое расположено левее на этой прямой.
Н а п р и м е р, на рисунке 1.2 число  расположено правее числа  , значит число  больше числа  , а число  в свою очередь меньше числа  .

Два числа  и  , соединенные одним из знаков   (больше),  (меньше),   (больше или равно) или  (меньше или равно), называют числовым неравенством: 
 ,  ,  ,  . 

Если число  неотрицательное, то пишут  и читают:  больше или равно нулю. 
Если число  неположительное, то есть отрицательное или число  , то пишут   и читают:  меньше или равно нулю. 
Если число  положительное, то записывают   , а если число  отрицательное, то записывают   .
Неравенство, содержащее знак   или знак   называют строгим неравенством, а содержащее знак   или знак   – нестрогим неравенством. 
Если оба неравенства содержат один и тот же знак (знак   или знак  ), то их называют неравенствами одинакового смысла. Если же одно из неравенств содержит знак  , а другое знак  , то такие неравенства называют неравенствами противоположного смысла.

Неравенства   ,   ,   и   называют двойными неравенствами. 
Неравенство   читают так: число  больше числа , но меньше числа . 
Неравенство   читают так: число  больше или равно числу , но меньше или равно числу  или число  не меньше числа  и не больше числа . 
Двойные неравенства можно заменять системами неравенств.
Н а п р и м е р, неравенство   заменяют системой неравенств   

1. Если   и  , то   , или если   и   , то   . 

2. Если   и  , то   , или если   и   , то   . 

3. Если   и   , то   , или если   и   , то   . 

4. Если   , то  , или если  , то   при условии, что   . 

5. Если   и  , то  , или если  и  , то   . 

6. Если   и  – натуральное число, то  . 

7. Если   и  – натуральное число, то   при условии, что   и   . 

8. Если  , то   . Если  , то   . 

Абсолютная величина числа 

Модулем (абсолютной величиной) числа  называют число , если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если  отрицательное: 
 , если  и  , если   . 
Н а п р и м е р:   ;   ;   .

Геометрический смысл модуля числа: модуль числа – это расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой, соответствующей этому числу (рис. 1.3).

Свойства модуля числа:
1) ;
2)  ;
3)  ; 
4) ; 
5) ;
6) . 

Поскольку модуль любого числа – величина неотрицательная, то уравнение   имеет решения, если   и не имеет решений, если  . 
Н а п р и м е р: 
1) решение уравнения   образуют числа  и ;
2) решением уравнения   является число ;
3) уравнение   решений не имеет.

Решение неравенства  записывают так:   .

Решение неравенства  записывают так:   .

Решение неравенства  записывают так:   или   .

Решение неравенства  записывают так:   или   .

1. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Н а п р и м е р:   ;   .

2. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Н а п р и м е р,  , так как   .

3. Любое положительное число больше любого отрицательного числа и числа нуль.
Н а п р и м е р,   . 

4. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа и числа нуль.
Н а п р и м е р,   .

1. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить их модули и перед результатом поставить общий знак этих чисел.
Н а п р и м е р:  ;   .

2. Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо из большего модуля числа вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа, модуль которого больше.
Н а п р и м е р:  ;   .

3. Чтобы из одного числа вычесть другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Н а п р и м е р:   . 

1. Чтобы умножить (разделить) два числа с одинаковыми знаками, необходимо модули этих чисел умножить (разделить). В результате всегда будем получать положительное число. 
Н а п р и м е р:  ;   .

2. Чтобы умножить (разделить) два числа с противоположными знаками, необходимо модули этих чисел перемножить (разделить) и перед результатом поставить знак минус. В результате всегда будем получать отрицательное число.
Н а п р и м е р:   ;   .

3. При умножении любого числа на число  всегда будем получать число  . При делении числа  на положительное или отрицательное число всегда будем получать число  . 
Н а п р и м е р:   ;  .