Логарифмические уравнения /qualihelpy

Логарифмические уравнения

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Логарифмическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Н а п р и м е р, это может быть уравнение вида: $LaTeX formula: \log_{g(x)}f(x)=\phi (x)$ , где $LaTeX formula: f(x)>0, g(x)>0, g(x)\neq 1$ .

Методы решений уравнений

1. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \log_{a}f(x)=\log_{a}g(x)$ , (5.18)

то оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)=g(x)

(5.18.1)
при условии, что LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ LaTeX formula: ;

2. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \log_{a}f(x)=g(x)$ , (5.19)

то оно равносильно уравнению $LaTeX formula: f(x)=a^{g(x)}$ (5.19.1)
при условии, что LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ .

3. Метод подстановки.

4. Использование монотонности функций.

Свойства логарифмов:

$LaTeX formula: \log_{a}a=1$ ; (3.15) $LaTeX formula: \log_{a^{k}}{b^{k}}=\log_{a}b$ ; (3.21)

$LaTeX formula: \log_{a}1=0$ ; (3.16) $LaTeX formula: \log_{a}^{k}{b^{n}}=n^{k}\log_{a}^{k}b$ ; (3.22)

$LaTeX formula: \log_{a}bc=\log_{a}b+\log_{a}c$ ; (3.17) $LaTeX formula: \log_{a^{m}}^{k}b=\frac{1}{m^{k}}\log_{a}^{k}b$ ; (3.23)

$LaTeX formula: \log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$ ; (3.18) $LaTeX formula: \log_{a}b=\frac{\log_{d}b}{\log_{d}a}$ ; (3.24)

$LaTeX formula: \log_{a}b^{n}=n\cdot \log_{a}b$ ; (3.19) $LaTeX formula: \log_{a}d=\frac{1}{\log_{d}a}$ ; (3.25)

$LaTeX formula: \log_{a^{m}}b=\frac{1}{m} \log_{a}b$ ; (3.20) $LaTeX formula: a^{\log_{d}b}=b^{\log_{d}a}$ . (3.26)

Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1, d>0,$ и $LaTeX formula: d\neq 1, b>0,c>0,$ причем числа LaTeX formula: m,n

отличны от нуля.

Основное логарифмическое тождество:

$LaTeX formula: a^{\log_{a}b}=b$ . (3.27)

Свойства степеней:

$LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ;$ LaTeX formula: (1.11)

$LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ;$ LaTeX formula: (1.12)

$LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ;$ LaTeX formula: (1.13)

$LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n} .$ LaTeX formula: (1.15)

Пример 1. Решите уравнение $LaTeX formula: \lg 8-\lg\sqrt{x+6}=\lg 16-\lg(x-2)$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+6>0 & \\ x-2>0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>2$ .
Согласно свойству 3.18 получим: $LaTeX formula: \lg\frac{8}{\sqrt{x+6}}=\lg\frac{16}{x-2}$ .
Имеем уравнение вида 5.18, которое равносильно уравнению 5.18.1:
$LaTeX formula: \frac{8}{\sqrt{x+6}}=\frac{16}{x-2}$ , $LaTeX formula: \frac{1}{\sqrt{x+6}}=\frac{2}{x-2}$ .
Решим иррациональное уравнение:
$LaTeX formula: 2\sqrt{x+6}=x-2$ , $LaTeX formula: \left (2\sqrt{x+6} \right )^2=\left (x-2 \right )^2$ ,
LaTeX formula: 4x+24=x^2-4x+4

,
откуда $LaTeX formula: x_{1}=10$ , $LaTeX formula: x_{2}=-2$ – посторонний корень уравнения.
Ответ: LaTeX formula: 10

Пример 2. Решите уравнение $LaTeX formula: \log_{3x-10}(10x^2-61x+94)=10^{\log_{0,1}0,5}$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \begin{cases} 10x^2-61x+94>0, \\ 3x-10 >0,\\ 3x-10 \neq 1. \end{cases}$

По формулам 3.21 и 3.27 выполним преобразования правой части уравнения:
$LaTeX formula: 10^{\log_{0,1}0,5}=10^{\log_{10^{-1}}2^{-1}}=10^{\lg 2}=2$ .
Так как имеем уравнение вида 5.19 , то исходное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению 5.19.1:
$LaTeX formula: 10x^{2}-61x+94=(3x-10)^{2}$ ,
LaTeX formula: x^2-x-6=0

, откуда $LaTeX formula: x_{1}=-2, x_{2}=3$ .
Так как числа LaTeX formula: -2

не принадлежат области допустимых значений уравнения, то уравнение корней не имеет.
Ответ: $LaTeX formula: \varnothing$ .

Пример 3. Решите уравнение $LaTeX formula: x^{\lg x}=1000x^{-2}$ .

Решение. ОДЗ: LaTeX formula: x>0

.
Полагая $LaTeX formula: \lg x=a$ , запишем LaTeX formula: x=10^a

.
Решим показательное уравнение $LaTeX formula: (10^a)^a=10^3(10^a)^{-2}$ .
Применяя свойства степеней 1.13 и 1.11, получим:
$LaTeX formula: 10^{a^{2}}=10^3\cdot 10^{-2a},10^{a^{2}}=10^{3-2a},$
откуда $LaTeX formula: a^2=3-2a, a^2+2a-3=0, a_{1}=-3, a_{2}=1$ .
Учитывая подстановку, найдем корни исходного уравнения:
$LaTeX formula: x_{1}=10^{-3}=0,001$ и $LaTeX formula: x_{2}=10^1=10$ .
Ответ: LaTeX formula: 0,001; 10.

Пример 4. Решите уравнение $LaTeX formula: \log_{3x}\frac{3}{x}+\frac{1}{\log_{x}^{2}3}=\log_{3}3$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x>0, x\neq 1,\\ 3x\neq 1 .\\ \end{array} \right.$

Применим свойства логарифмов 3.18, 3.25, 3.15, 3.24, 3.17:
$LaTeX formula: \log_{3x}3-\log_{3x}x+\log_{3}^{2}x=1$ ,

$LaTeX formula: \frac{\log_{3}3}{\log_{3}3x}-\frac{\log_{3}x}{\log_{3}3x}+\log^{2}_{3}x=1$ ,
$LaTeX formula: \frac{1}{\log_{3}3+\log_{3}x}-\frac{\log_{3}x}{\log_{3}3+\log_{3}x}+\log_{3}^{2}x=1$ ,

$LaTeX formula: \frac{1}{1+\log_{3}x}-\frac{\log_{3}x}{1+\log_{3}x}+\log_{3}^{2}x=1$ ,

$LaTeX formula: \frac{1-\log_{3}x}{1+\log_{3}x}+\log^{2}_{3}x=1$ .

В результате подстановки $LaTeX formula: \log_{3}x=a$ получим:
$LaTeX formula: \frac{1-a}{1+a}+a^2=1$ , $LaTeX formula: \frac{1-a}{1+a}-(1-a)(1+a)=0$ , $LaTeX formula: (1-a) \left (\frac{1}{1+a}-(1+a) \right )=0.$

Решим два уравнения:
1) LaTeX formula: 1-a=0

, откуда

;
2) $LaTeX formula: \frac{1}{1+a}-(1+a) =0,$ LaTeX formula: (1+a)^2=1

, откуда

Учитывая подстановку, решим уравнения:
1) $LaTeX formula: \log_{3}x=1$ , откуда LaTeX formula: x=3

;
2) $LaTeX formula: \log_{3}x=0$ , откуда LaTeX formula: x=1

– посторонний корень;
3) $LaTeX formula: \log_{3}x=-2$ , откуда $LaTeX formula: x=\frac{1}{9}$ .
Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{9}$ , LaTeX formula: 3

Пример 5. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=10^{\lg{81}}, \\ \lg\sqrt{xy}=1+\lg 3. & \end{matrix}\right.$

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x>0, & \\ y>0. & \end{matrix}\right.$
Запишем систему уравнений в виде: $LaTeX formula: \begin{cases} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^4, \\ \lg\sqrt{xy}=\lg10+\lg3. \end{cases}$
Рассматриваемая система равносильна системе уравнений:
$LaTeX formula: \begin{cases} 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, \\ \sqrt{xy}=30. \end{cases}$
Выразим $LaTeX formula: \sqrt{y}$ из первого уравнения системы: $LaTeX formula: \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4$ .
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$LaTeX formula: \sqrt{x}(2\sqrt{x}-4)=30$ , $LaTeX formula: 2x-4\sqrt{x}=30$ , $LaTeX formula: x-2\sqrt{x}-15=0$ .
Получили квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: \sqrt{x}$ .
Значит $LaTeX formula: \sqrt{x_{1}}=5$ , откуда LaTeX formula: x=25

и $LaTeX formula: \sqrt{x_{2}}=-3$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .
Найдем значения переменной LaTeX formula: y

:
$LaTeX formula: \sqrt{y}=2\cdot 5-4,\sqrt{y}=6,y=36.$
Ответ: LaTeX formula: (25;36)

1. Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу LaTeX formula: 1

2. Значение логарифма может быть положительным числом, отрицательным числом и числом LaTeX formula: 0

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_логарифмические_уравнения

Логарифмические уравнения