Показательные уравнения

Справочник / Абитуриент / Уравнения / Показательные уравнения
Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты
Показательными называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени, то есть уравнения вида LaTeX formula: a^{f(x)}=b^{g(x)}  , где LaTeX formula: a\in R и LaTeX formula: b\in R, причем, LaTeX formula: a>0, a\neq 1   и LaTeX formula: b>0 , LaTeX formula: b\neq 1 . 
Если  LaTeX formula: a=1 , то уравнение  LaTeX formula: a^{f(x)}=a^{g(x)} примет вид  LaTeX formula: 1=1, а его решением является любое из чисел, принадлежащих области определения данного уравнения. 
Например:
1) решение уравнения LaTeX formula: 1^{\sqrt{2x-3}}=1^{x^{3}}  образуют все числа, удовлетворяющие условию LaTeX formula: 2x-3\geq 0 ; 
2) решением уравнения LaTeX formula: 1^{2x-3}=1^{x^{3}} является любое действительное число.
Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: a^{f(x)}=a^{g(x)} , (5.16)
то при  LaTeX formula: a>0  и  LaTeX formula: a\neq 1, оно равносильно уравнению
LaTeX formula: f(x)=g(x). (5.16.1)
2. Если уравнение имеет вид  LaTeX formula: a^{f(x)}=b , (5.17)
то оно равносильно уравнению  LaTeX formula: f(x)=log_{a}b . (5.17.1)
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, при условии, что LaTeX formula: a\neq 0  и LaTeX formula: b\neq 0 , справедливы равенства: 
LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^n} ; (1.9)
LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^n . (1.10)
Свойства степеней:
 LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ; (1.11)      LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ; (1.12)
 LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ; (1.13)       LaTeX formula: (ab)^n=a^nb^n  ; (1.14)
LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}  . (1.15)

Пример 1. Найдите сумму корней уравнения LaTeX formula: 0,5 \left (\sqrt{2}\right )^{2x+4} \cdot 3^{x+1}=36\cdot \left (\sqrt{6} \right )^{\frac{2x+6}{x}} .
Решение. Применяя свойства степеней  1.13 , 1.11 и 1.14 получим:

 LaTeX formula: 2^{-1}\cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot (2x+4)} \cdot 3^x\cdot 3=36\cdot 6^{\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+6}{x} }, 
LaTeX formula: 2^x\cdot 2\cdot 3^x\cdot 3=36\cdot 6^{\frac{x+3}{x}}, 
LaTeX formula: 2^x\cdot 3^x=6\cdot 6^{\frac{x+3}{x}} ,6^x= 6^{\frac{x+3}{x}+1}. 

Имеем уравнение вида 5.16, которое равносильно уравнению  5.16.1:
LaTeX formula: x={\frac{x+3}{x}+1},  LaTeX formula: x^2=x+3+x,  LaTeX formula: x^2-2x-3=0 , откуда  LaTeX formula: x_{1}=-1, x_{2}=3  .

Найдем сумму корней уравнения: LaTeX formula: -1+3=2 .

Ответ: LaTeX formula: 2. 

Пример 2. Решите уравнение LaTeX formula: 2\cdot 5^{x+6}-2\cdot 3^{x+7}-86\cdot 5^{x+4}+38\cdot 3^{x+5}=0 . 
Решение. Запишем уравнение в виде: 
 LaTeX formula: 5^{x+6}-43\cdot 5^{x+4}=3^{x+7}-19\cdot 3^{x+5}.  
В левой и правой части уравнения вынесем степени с показателем LaTeX formula: x+4 :  
LaTeX formula: 5^{x+4}(5^2-43)=3^{x+4}(3^3-19\cdot 3^1), 
LaTeX formula: 5^{x+4}(-18)=3^{x+4}(-30), 
LaTeX formula: 3\cdot 5^{x+4}=5\cdot 3^{x+4} . 
Разделим обе части уравнения на LaTeX formula: 3 и на LaTeX formula: 3^{x+4}: 
LaTeX formula: \frac{3\cdot 5^{x+4}}{3\cdot 3^{x+4}}=\frac{5\cdot 3^{x+4}}{3\cdot 3^{x+4}}, \frac{5^{x+4}}{ 3^{x+4}}=\frac{5}{3}. 
По свойству степеней 1.15 запишем:
 LaTeX formula: \left (\frac{5}{3} \right )^{x+4}=\left (\frac{5}{3} \right )^1 , откуда  LaTeX formula: x+4=1, x=-3 . 
Ответ: LaTeX formula: -3.
Пример 3. Найдите модуль разности корней уравнения LaTeX formula: 9\cdot 3^{2x}-13\cdot 6^x+2^{2x+2}=0 .
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 9\cdot 9^{x}+4\cdot 4^{x}=13\cdot 6^{x}. 
Разделим обе его части на LaTeX formula: 6^x\neq 0  и применим свойство 1.15 : 
LaTeX formula: \frac{9^x\cdot 9}{6^x}+\frac{4x\cdot 4}{6^x}=\frac{13\cdot 6^x}{6^x}, 
 LaTeX formula: 9\cdot \left ( \frac{9}{6}\right )^x+4\cdot \left ( \frac{4}{6}\right )^x=9\cdot \left ( \frac{3}{2}\right )^x+4\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^x=13. 
В результате подстановки LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=a>0  уравнение примет вид:
 LaTeX formula: 9a+\frac{4}{a}=13, 9a^2-13a+4=0, откуда LaTeX formula: a_{1}=\frac{4}{9}, a_{2}=1.  
Учитывая подстановку LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=a, решим два уравнения: 
1)  LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=\frac{4}{9}, \left (\frac{3}{2} \right )^x= \left (\frac{3}{2} \right )^{-2} откуда  LaTeX formula: x=-2; 
2)  LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=1, \left (\frac{3}{2} \right )^x= \left (\frac{3}{2} \right )^0, откуда LaTeX formula: x=0 . 
Найдем модуль разности корней уравнения: LaTeX formula: \left | -2-0 \right |=2. 
Ответ: LaTeX formula: 2 .
Пример 4. Решите уравнение  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x+\left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=12.
Решение. Пусть LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=a , тогда LaTeX formula: \left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=\frac{1}{a} .
Действительно, в результате умножения левых и правых частей этих равенств получим: 
LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x \left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=a\cdot \frac{1}{a}, 
LaTeX formula: \left ( \sqrt{{\left (6+\sqrt{35} \right )} {\left (6-\sqrt{35} \right )} \right )} \right )^x=1, 
LaTeX formula: \left (\sqrt{36-35} \right )^x=1, LaTeX formula: 1^x=1, LaTeX formula: 1=1. 
Рассмотрим уравнение LaTeX formula: a+\frac{1}{a}=12  или LaTeX formula: a^2-12a+1=0 , откуда
LaTeX formula: x_1=\frac{12+2\sqrt{35}}{2}=6+\sqrt{35}, LaTeX formula: x_2=\frac{12-2\sqrt{35}}{2}=6-\sqrt{35}. 
Учитывая подстановку LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=a , решим уравнения: 
1)  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=LaTeX formula: 6+\sqrt{35} , LaTeX formula: \left (6+ \sqrt{35} \right )^{\frac{x}{2}}=\left (6+ \sqrt{35} \right )^1, откуда LaTeX formula: \frac{x}{2}=1, x=2 ; 
2)  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x= 6-\sqrt{35} , откуда LaTeX formula: \left (6+ \sqrt{35} \right )^{\frac{x}{2}}=\left (6+ \sqrt{35} \right )^{-1},  LaTeX formula: \frac{x}{2}=-1, x=-2 . 
Ответ: LaTeX formula: -2; 2 .
Пример 5. Найдите число корней уравнения  LaTeX formula: \left | 1-x \right |^{x^{2}-5x-3}=\left | x-1 \right |^{-7x}.
Решение. Поскольку  LaTeX formula: \left | 1-x \right |=\left | x-1 \right |, то имеем уравнение вида  LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=(f(x))^{\phi (x)}. 
Решим три уравнения: 
1)  LaTeX formula: x^{2}-5x-3=-7x, LaTeX formula: x^{2}+2x-3=0 , откуда  LaTeX formula: x_{1}=-3,  LaTeX formula: x_{2}=1; 
2)  LaTeX formula: \left | x-1 \right |=1, откуда  LaTeX formula: x-1=1, тогда  LaTeX formula: x=2 или  LaTeX formula: x-1=-1, тогда  LaTeX formula: x=0; 
3)  LaTeX formula: \left | x-1 \right |=0, откуда  LaTeX formula: x=1. Выполним проверку: подставим значение LaTeX formula: x=1  в исходное уравнение и получим  LaTeX formula: 0^{1-5-3}=0^{-7}. Так как имеем неопределенность вида  LaTeX formula: 0^{-n}, то число LaTeX formula: 1 не является корнем исходного уравнения. 
Уравнение  LaTeX formula: \left | 1-x \right |^{x^{2}-5x-3}=\left | x-1 \right |^{-7x} имеет три корня: LaTeX formula: -3;  LaTeX formula: 0 и LaTeX formula: 2. 
Ответ: LaTeX formula: 3.

Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \left (f(x) \right )^{g(x)}=\left (f(x) \right )^{\phi (x)} , то его решение образуют корни уравнений: 
1)  LaTeX formula: g(x)=\phi (x) при LaTeX formula: f(x)>0  и LaTeX formula: f(x)\neq 1 ; 
2) LaTeX formula: f(x)= 1 ; 
3) LaTeX formula: f(x)=0 . 
Заметим, что необходимо выполнить проверку корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0 , так как, подставив полученные числа в уравнение  LaTeX formula: \left (f(x) \right )^{g(x)}=\left (f(x) \right )^{\phi (x)}, можем получить неопределенность вида  LaTeX formula: 0^0 или LaTeX formula: 0^{-n}=\frac{1}{0} . 
Случай, когда LaTeX formula: f(x)<0 , нами не рассматривается. 

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) m_7_показательные_уравнения
© Сиротина И.К., 2013—2025
formula