Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля /qualihelpy

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Модулем (абсолютной величиной) числа LaTeX formula: a называют число , если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если число отрицательное:
$LaTeX formula: \left | a \right |=a$ , если $LaTeX formula: a\geq 0$ и $LaTeX formula: \left | a \right |=-a$ , если LaTeX formula: a<0 .
Следовательно, модуль любого числа – величина неотрицательная.

Методы решений уравнений

1. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |=b$ , (5.11) то:

а) при

оно равносильно совокупности уравнений
$LaTeX formula: \begin{bmatrix} f(x)=b,\\ f(x)=-b. \end{matrix}\right.$ (5.11.1)

б) при

оно равносильно уравнению
LaTeX formula: f(x)=0

; (5.11.2)

в) при

не имеет решений.

2. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |=g(x)$ (5.12)
и $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ , то оно равносильно совокупности уравнений:
$LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x). \end. \]$ (5.12.1)

3. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |=f(x)$ , (5.13)
то оно равносильно неравенству $LaTeX formula: f(x)\geq 0$ . (5.13.1)

4. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \left | f(x) \right |= \left | g(x) \right |$ , (5.14)
то оно равносильно уравнению LaTeX formula: f^2(x)=g^2(x)

. (5.14.1)

5. Если уравнение содержит несколько модулей, например, имеет вид
$LaTeX formula: \left |f_{1}(x) \right |+\left |f_{2}(x) \right |=g(x)$ , (5.15)
то применяем метод интервалов:
1) найдем нули функций, стоящих под знаками модулей, решая уравнения $LaTeX formula: f_{1}(x) =0$ и $LaTeX formula: f_{2}(x)=0$ ;
2) нанесем нули функций на область определения уравнения;
3) раскроем модули на каждом из полученных промежутков;
4) решим полученные уравнения;
5) отберем корни на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.
Записывая промежутки, граничные точки будем включать в промежуток только один раз, например при первом их упоминании.

Пример 1. Найдите квадрат произведения корней уравнения $LaTeX formula: x^2+\left | x \right |-20=0$ .

Пример 2. Найдите произведение корней уравнения $LaTeX formula: \left |x+\sqrt{5} \right |$ $LaTeX formula: =\sqrt{5} \left |x-\sqrt{5} \right |$ .

Решение. Имеем уравнение вида 5.14, которое равносильно уравнению 5.14.1.
Следовательно, $LaTeX formula: \left (x+\sqrt{5} \right )^2= 5(x-\sqrt{5})^2,$
$LaTeX formula: x^2+2\sqrt{5}x+5-5x^2+10\sqrt{5}x-25=0,$
$LaTeX formula: 4x^2-12\sqrt{5}x+20=0,$
$LaTeX formula: x^2-3\sqrt{5}+5=0,$
откуда по теореме, обратной теореме Виета, $LaTeX formula: x_{1}\cdot x_{2}=5$ .
Ответ: LaTeX formula: 5

Решение. Имеем уравнение вида 5.11, которое при LaTeX formula: b> 0

равносильно 5.11.1, при LaTeX formula: b= 0

равносильно 5.11.2, а при LaTeX formula: b< 0

решений не имеет. Следовательно,

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} || x-5|-5|-5=5, \\ || x-5|-5|-5=-5; \end{cases}$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} \left || x-5 \right |-5|=10,\\|| x-5 |\right |-5|=0; \end. \]$

$LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ \left | x-5 \right |-5=10,\\ & \ \left | x-5 \right |-5=-10, \\ & \ \left | x-5 \right |-5=0; \end. \]$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ \left | x-5 \right |=15,\\ & \ \left | x-5 \right |=-5, \\ & \ \left | x-5 \right |=5; \end. \]$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x-5=15,\\ & \ x-5=-15, \\ & \ x-5=5, \\ & \ x-5=-5; \end. \]$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=20,\\ & \ x=-10,\\ & \ x=10,\\ & \ x=0. \end. \]$
Ответ: $LaTeX formula: \left \{ -10;0;10;20 \right \}$ .

Пример 4. Найдите модуль разности квадратов корней уравнения $LaTeX formula: \left |x^2-4x-2 \right |=4x+18$ .

Решение. Имеем уравнение вида 5.12, которое при $LaTeX formula: g(x)\geq 0$ равносильно 5.12.1.
Следовательно, при $LaTeX formula: 4x+18\geq 0$ или $LaTeX formula: x\geq -3,5$ получим:

$LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x^2-4x-2=4x+18,\\ & \ x^2-4x-2=-4x-18; \end. \]$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x^2-8x-20=0,\\& \ x^2=-16; \end. \]$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-2,\\ x=10. \end{matrix}\right.$

Найдем модуль разности квадратов корней уравнения:
$LaTeX formula: \left |x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right |=\left | 4-100 \right |=96$ .
Ответ: LaTeX formula: 96

Пример 5. Решите уравнение $LaTeX formula: \left |x-6 \right |- \left |x+4 \right |=10$ .

Решение. Имеем уравнение вида 5.15, которое мы решим методом интервалов.
Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения:
1) LaTeX formula: x-6=0

, откуда

;
2)

, откуда

.
Нанесем числа LaTeX formula: -4

на координатную прямую (рис.5.5).
Рассмотрим полученные промежутки и раскроем модули на каждом из них.

1. На промежутке $LaTeX formula: (-\infty ;-4]$ данное уравнение примет вид:
LaTeX formula: -x+6+x+4=10

или

.
Следовательно, любое число, принадлежащее промежутку $LaTeX formula: (-\infty ;-4]$ , является решением уравнения.

2. На промежутке LaTeX formula: (-4 ;6]

получим:

.
Поскольку число LaTeX formula: -4

не принадлежит промежутку LaTeX formula: (-4 ;6]

, то оно не является решением уравнения на этом промежутке.

3. На промежутке $LaTeX formula: (6;+\infty )$ получим:
LaTeX formula: x-6-x-4=10

или

.
Следовательно $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .
Ответ: $LaTeX formula: (-\infty ;-4]$ .

Раскрывая модули на промежутках необходимо помнить:

1) если под знаком модуля записана положительная величина, то модуль опускаем, а выражение под знаком модуля переписываем без изменения, например, $LaTeX formula: \left |\sqrt{3}-\sqrt{2} \right |=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ ;

2) если под знаком модуля отрицательная величина, то модуль опускаем, а выражение, записанное под знаком модуля, заменяем противоположным, например, $LaTeX formula: \left |\sqrt{2}-\sqrt{3} \right |=\sqrt{3}-\sqrt{2}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_6_уравнения_с_модулем

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля