Рациональные уравнения /qualihelpy

Рациональные уравнения

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Рациональными называют уравнения вида LaTeX formula: f(x)=0

и $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0$ , где LaTeX formula: f(x)

– многочлены.

Решение рациональных уравнений

1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: f(x)=0

, где

– многочлен, степень которого выше второй, то, разложив его левую часть на множители, заменяют данное уравнение совокупностью уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю.

2. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)

3. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=1$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)=g(x)

4. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g(x)}$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению $LaTeX formula: f_{1}(x)=f_{2}(x)$ .

5. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g_{2}(x)}$ , то при $LaTeX formula: g_{1}(x)\neq 0$ и $LaTeX formula: g_{2}(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению $LaTeX formula: f_{1}(x)\cdot g_{2}(x)=f_{2}(x)\cdot g_{1}(x)$ .

6. Метод подстановки.

7. Рассмотрим метод решения одного из видов симметрических уравнений.

Н а п р и м е р, уравнение имеет вид: LaTeX formula: ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0

, (5.10)
Разделим обе его части $LaTeX formula: x^2\neq 0$ и введем подстановку $LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=a$ . (5.10.1)

Решение систем рациональных уравнений

Решая системы рациональных уравнений, можно:

1) выражать переменную из одного уравнения и подставлять ее значение в другое уравнение системы;

2) складывать и вычитать уравнения системы;

3) делить и умножать уравнения системы;

4) вводить подстановку.

Пример 1. Найдите произведение всех действительных корней уравнения LaTeX formula: 0,2x^3-1,2x+1=0

Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: x^3-6x+5=0

.
Если уравнение имеет целые корни, то эти корни найдем среди делителей свободного члена.
Запишем делители числа LaTeX formula: 5

: это числа $LaTeX formula: \pm 1$ и $LaTeX formula: \pm 5$ .
Подберем корень уравнения:
если $LaTeX formula: x_{1}=1$ , то LaTeX formula: 1-6+5=0

, следовательно, число LaTeX formula: 1

– корень этого уравнения.
Разделим обе части уравнения на двучлен LaTeX formula: (x-1)

Решим уравнение LaTeX formula: x^2+x-5=0

.
Так как дискриминант уравнения LaTeX formula: D=21>0

, то это уравнение имеет два корня, произведение которых равно LaTeX formula: -5

.
Найдем произведение всех корней уравнения LaTeX formula: x^3-6x+5=0

:
$LaTeX formula: x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=1\cdot (-5)=-5$ .
Ответ: LaTeX formula: -5.

Пример 2. Найдите сумму всех корней уравнения $LaTeX formula: \frac{20x}{4x^2-8x+7}+\frac{15x}{4x^2-10x+7}=5$ .

Решение. Так как число нуль не является корнем этого уравнения, то выполним следующее преобразование:
$LaTeX formula: \frac{\frac{20x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{8x}{x}+\frac{7}{x}}+\frac{\frac{15x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{10x}{x}+\frac{7}{x}}=\frac{5}{5},$

$LaTeX formula: \frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1.$

В результате подстановки $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=a$ уравнение примет вид:

$LaTeX formula: \frac{4}{a+1}+\frac{3}{a-1}=1$ , $LaTeX formula: \frac{4a-4+3a+3}{a^2-1}=1$ , $LaTeX formula: \frac{7a-1}{a^2-1}=1$ ( $LaTeX formula: a\neq \pm 1$ ),

, откуда $LaTeX formula: a_{1}=0,a_{2}=7.$

Учитывая подстановку, решим два уравнения:

1) $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=0$ , откуда LaTeX formula: 4x^2-9x+7=0

, а так как LaTeX formula: D<0

, то $LaTeX formula: x\in \varnothing$ ;

2) $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=7$ , откуда LaTeX formula: 4x^2-16x+7=0

, а так как LaTeX formula: D>0

, то $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=\frac{16}{4}=4$ .
Ответ: LaTeX formula: 4

Пример 3. Решите уравнение $LaTeX formula: x^2+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{47}{4}$ .

Решение. Имеем уравнение 5.10, которое решим с помощью подстановки 5.10.1.

Запишем уравнение в виде:
$LaTeX formula: \left (3x+\frac{3}{x} \right )+\left (x^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{47}{4}$ или $LaTeX formula: 12 \left (x+\frac{1}{x} \right )+4\left ( x^2+\frac{1}{x^2} \right )=47$ .

Преобразуем выражение $LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x^2} \right$ :
$LaTeX formula: \left (x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot x \cdot \frac{1}{x} \right )-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=\left (x+\frac{1}{x} \right )^2-2$ .

Полагая $LaTeX formula: x+\frac{1}{x} \right =a$ и $LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x} \right=a^2-2$ , получим:
LaTeX formula: 12a+4(a^2-2)=47,4a^2+12a-55=0,

откуда
$LaTeX formula: D=12^2+4\cdot 4\cdot 55=4^2(3^2+55)=4^2\cdot 64=(4\cdot 8)^2=32^2;$

$LaTeX formula: a_{1}=\frac{-12-32}{8}=-\frac{11}{2},a_{2}=\frac{-12+32}{8}=\frac{5}{2}.$

Учитывая подстановку, решим уравнения:

1) $LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}$ или LaTeX formula: 2x^2+11x+2=0

, откуда $LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}$ ;

2) $LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$ или LaTeX formula: 2x^2-5x+2=0,

откуда $LaTeX formula: x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{2};2;\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}.$

Пример 4. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y+\frac{x}{y}=9,\\ \frac{(x+y)x}{20y}=1.\\ \end{array} \right.$

Решение. Полагая $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=a,\\ \frac{x}{y}=b,\\ \end{array} \right.$ запишем данную систему уравнений в виде:
$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b=9, & \\ a\cdot b=20. & \end{matrix}\right.$

Заметим, что решением полученной системы уравнений являются пары чисел
$LaTeX formula: a_{1}=4, b_{1}=5$ и $LaTeX formula: a_{2}=5, b_{2}=4$ .

Учитывая подстановку, решим две системы уравнений:

1) $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ \frac{x}{y}=5;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ x=5y;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 6y=4,& \\ x =5y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=\frac{2}{3},& \\ x =\frac{10}{3};& \end{matrix}\right.$

2) $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=5,\\ \frac{x}{y}=4;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 5y=5,& \\ x =4y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=1,& \\ x =4.& \end{matrix}\right.$

Ответ: $LaTeX formula: \left (\frac{10}{3};\frac{2}{3} \right ), (4;1).$

Пример 5. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^3+x^3y^2=9, & \\ x^2y^3-x^3y^2=3. & \end{matrix}\right.$

Решение. Систему уравнений запишем в виде:
$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^2(y+x)=9, & \\ x^2y^2(y-x)=3. & \end{matrix}\right.$

Разделим первое уравнение системы на второе:
$LaTeX formula: \frac{x^2y^2(y+x)}{x^2y^2(y-x)}=\frac{9}{3}$ , откуда $LaTeX formula: \frac{y+x}{y-x}=3$ .

По основному свойству пропорции получим:
LaTeX formula: y+x=3y-3x,