Квадратные уравнения /qualihelpy

Квадратные уравнения

Справочник / Абитуриент / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Квадратным называют уравнение вида LaTeX formula: ax^2+bx+c=0

при условии, что $LaTeX formula: a\neq 0$ .
Числа

называют коэффициентами уравнения.
Число LaTeX formula: a

считают старшим коэффициентом, а число LaTeX formula: c

– свободным членом уравнения.

Если коэффициенты уравнения LaTeX formula: b

и (или)

равны нулю, то имеем неполные квадратные уравнения:
1) LaTeX formula: ax^2=0

;
2)

;
3)

Решение неполных квадратных уравнений

1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2=0

, то

(двукратный корень).

2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2+c=0

,
то

, $LaTeX formula: x^2=\frac{-c}{a}$ и $LaTeX formula: x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}$ , при условии, что $LaTeX formula: \frac{-c}{a}\geq 0$ .
Например, уравнение LaTeX formula: x^2+25=0

решений не имеет, так как $LaTeX formula: x^2\neq -25$ .

2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2+bx=0

, то

, откуда

или

.
Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня:
$LaTeX formula: x_{1}=0$ и $LaTeX formula: x_{1}=-\frac{b}{a}$ .
Например, решим уравнение LaTeX formula: 4x^2+6x=0 ,

откуда $LaTeX formula: x(4x+6)=0,x_{1}=0,x_{2}=-1,5.$

Решение полных квадратных уравнений

Рассмотрим решение квадратного уравнения
LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 , (5.4)
при условии, что ни один из его коэффициентов не равен нулю.

Дискриминантом квадратного уравнения 5.4 называют выражение вида:
LaTeX formula: D=b^2-4ac

. (5.5)

1. Если

, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемые по формуле:

$LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ . (5.6)

2. Если

, то $LaTeX formula: x=\frac{-b}{2a}$ (двукратный корень).

3. Если

, то уравнение не имеет действительных корней.

Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения LaTeX formula: ax^2+bx+c=0

равна $LaTeX formula: -\frac{b}{a}$ , а произведение его корней равно $LaTeX formula: \frac{c}{a}$ . (при условии, что LaTeX formula: D>0

).
Если

, то учитываем, что $LaTeX formula: x=\frac{-b}{2a}$ – двукратный корень уравнения.

Н а п р и м е р, рассмотрим уравнение LaTeX formula: 3x^2+9x-2=0

.
Так как LaTeX formula: D=81+24=105>0

, то по теореме Виета: $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{9}{3}=-3$ , а $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=-\frac{2}{3}$ .

Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:
LaTeX formula: x^2+px+q=0

. (5.7)
Согласно теореме Виета сумма корней уравнения 5.7 равна LaTeX formula: -p

, а произведение его корней равно LaTeX formula: q

Н а п р и м е р, рассмотрим уравнение LaTeX formula: x^2+4x+4=0

. Так как

, то: $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-4$ , а $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=4$ .

Теорема,обратная теореме Виета. Числа LaTeX formula: m

являются корнями квадратного уравнения LaTeX formula: ax^2+bx+c=0

, где $LaTeX formula: a\neq 0$ , если их сумма равна $LaTeX formula: -\frac{b}{a}$ , а произведение равно $LaTeX formula: \frac{c}{a}$ .

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен LaTeX formula: f(x)=ax^2+bx+c

можно разложить на линейные множители по формуле:
$LaTeX formula: ax^2+bx+c =a(x-x_{1})(x-x_{2}),$ (5.8)
где $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{2}$ – корни этого трехчлена.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида:
LaTeX formula: ax^4+bx^2+c=0

, (5.9)
где LaTeX formula: a, b

– действительные числа и $LaTeX formula: a\neq 0$ .
С помощью подстановки LaTeX formula: x^2=y

это уравнение сводится к квадратному уравнению
LaTeX formula: ay^2+by+c=0

Пример 1. Разложите на множители квадратный трехчлен LaTeX formula: f(x)=2x^2+5x-3

Решение. Решим квадратное уравнение LaTeX formula: 2x^2+5x-3=0

По формуле 5.5 получим: LaTeX formula: D=25+24=49

По формуле 5.6 получим: $LaTeX formula: x_{1}=\frac{-5-7}{4}=-3$ , $LaTeX formula: x_{2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}$ .

Согласно формуле 5.8 запишем:
$LaTeX formula: 2x^2+5x-3=2(x+3)\left (x-\frac{1}{2} \right )=(x+3)(2x-1)$ .
Ответ: LaTeX formula: (x+3)(2x-1)

Пример 2. Решите уравнение LaTeX formula: x^4-7x^2+12=0

Решение. Имеем биквадратное уравнение 5.9.
Полагая LaTeX formula: x^2=y

, запишем это уравнение в виде LaTeX formula: y^2-7y+12=0

По формуле 5.5 получим: LaTeX formula: D=49-48=1

По формуле 5.6 получим: $LaTeX formula: y_{1}=\frac{7-1}{2}=3$ , $LaTeX formula: y_{1}=\frac{7+1}{2}=4$ .

Тогда: $LaTeX formula: x_{1}=\sqrt{3}$ , $LaTeX formula: x_{2}=-\sqrt{3}$ , $LaTeX formula: x_{3}=2$ , $LaTeX formula: x_{4}=-2$ .

Ответ:

; $LaTeX formula: -\sqrt{3}$ ; $LaTeX formula: \sqrt{3}$ ; LaTeX formula: 2

Пример 3. Составьте квадратное уравнение с корнями $LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}$ и $LaTeX formula: \frac{2}{x_{2}}$ , где $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{2}$ – корни уравнения LaTeX formula: ax^2+bx+c=0

Решение. Рассмотрим уравнение LaTeX formula: ax^2+bx+c=0

По теореме Виета запишем: $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ и $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ .

Пусть искомое уравнение имеет вид 5.7 , а числа $LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}$ и $LaTeX formula: \frac{2}{x_{2}}$ – его корни.
Тогда $LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}=-p$ и $LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}\cdot \frac{2}{x_{2}}=q$ .

Найдем коэффициенты LaTeX formula: p

, учитывая, что $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ и $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ :

1) $LaTeX formula: p=-2\cdot \left (\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} \right )=-2\cdot \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{2}x_{1}}=-2\cdot\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}} = 2\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{a}{c}=\frac{2b}{c}$ ;

2) $LaTeX formula: q=\frac{2}{x_{1}}\cdot \frac{2}{x_{2}} =\frac{4}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{\frac{c}{a}}=\frac{4a}{c}$ .

Подставим значения LaTeX formula: p

в уравнение LaTeX formula: x^2+px+q=0

и получим:
$LaTeX formula: x^2+\frac{2b}{c}x+\frac{4a}{c}=0$ или LaTeX formula: cx^2+2bx+4a=0

.
Ответ: LaTeX formula: cx^2+2bx+4a=0

Пример 4. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен $LaTeX formula: \frac{6}{3+\sqrt{3}}$ .

Решение. Согласно условию задачи:
$LaTeX formula: x_{1}=\frac{6}{3+\sqrt{3}}$ , или $LaTeX formula: x_{1}=\frac{6(3-\sqrt{3})}{6}$ , или $LaTeX formula: x_{1}=3-\sqrt{3}$ . Тогда $LaTeX formula: x_{2}=3+\sqrt{3}$ .

Пусть искомое уравнение имеет вид 5.7.
Тогда по теореме Виета $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-p$ , а $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=q$ .
Так как $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=3-\sqrt{3}+3+\sqrt{3}=6$ , а $LaTeX formula: x_{1}x_{2}=(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})=6$ , то LaTeX formula: p=-6

Запишем искомое уравнение: LaTeX formula: x^2-6x+6=0

.
Ответ: LaTeX formula: x^2-6x+6=0

Прежде, чем находить сумму и произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета, необходимо убедиться в том, что это уравнение имеет действительные корни, т. е. его дискриминант не отрицателен.

Н а п р и м е р, нельзя записать, что сумма корней квадратного уравнения LaTeX formula: x^2+2,6x+10=0

равна

, а произведение его корней равно LaTeX formula: 10

, так как дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно вовсе не имеет действительных корней.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_3_квадратные_уравнения