Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Уравнение вида 
называют линейным.
Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде и, если 
найти его решение: 
Н а п р и м е р,
называют линейным. Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде
и, если найти его решение: Н а п р и м е р,
Исследование линейных уравнений
Рассмотрим уравнение вида 
1. Если 
и 
то уравнение имеет только одно решение:
Н а п р и м е р,
и то уравнение имеет только одно решение: Н а п р и м е р,
2. Если 
и 
то уравнение 
примет вид 
или 
Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной
то решением уравнения является любое действительное число. Уравнение имеет бесконечное множество решений: 
Н а п р и м е р, уравнение
имеет бесконечное множество решений.
и то уравнение примет вид или Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной
то решением уравнения является любое действительное число. Уравнение имеет бесконечное множество решений: Н а п р и м е р, уравнение
имеет бесконечное множество решений. 3. Если и 
то 
или 
Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет:
Н а п р и м е р, уравнение
не имеет решений.
и то или Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет:
Н а п р и м е р, уравнение
не имеет решений. Решение систем линейных уравнений
Решать системы линейных уравнений можно:
1) складывая или вычитая уравнения системы;
2) выражая переменную из одного уравнения системы, и подставляя ее в другое уравнение.
1) складывая или вычитая уравнения системы;
2) выражая переменную из одного уравнения системы, и подставляя ее в другое уравнение.
Исследование систем линейных уравнений
Рассмотрим прямые 
и 
и систему линейных уравнений 
и и систему линейных уравнений 1. Система имеет одно решение (прямые пересекаются), если
(5.1)
(5.1)2. Система не имеет решений (прямые параллельны), если
(5.2.1) и 
(5.2.2)
(5.2.1) и (5.2.2)3. Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если
и 
(5.3)
и (5.3)Пример 1. Найдите все значения 
и 
при которых уравнение 
имеет бесконечно много решений.
Решение. Приведем уравнение к виду
, 
.
Уравнение имеет бесконечно много решений, если:
и 
откуда 
и 
Ответ:; 
.
и при которых уравнение имеет бесконечно много решений. Решение. Приведем уравнение к виду
, . Уравнение имеет бесконечно много решений, если:
и откуда и Ответ:
; .Пример 2. Найдите сумму координат точки пересечения прямых 
и 
Решение.
Координаты точки пересечения заданных прямых найдем, решая систему уравнений
Выполним преобразования.
1. Умножим первое уравнение системы на
а второе на 
.
Получим:
и Решение.
Координаты точки пересечения заданных прямых найдем, решая систему уравнений
Выполним преобразования.
1. Умножим первое уравнение системы на
а второе на . Получим:
2. Сложим уравнения системы:
откуда 
откуда 3. Подставим значение 
в любое уравнение системы, например, в уравнение 
и найдем значение 
откуда 
в любое уравнение системы, например, в уравнение и найдем значение откуда 4. Найдем сумму координат точки пересечения заданных прямых:
Ответ:
Ответ:
Пример 3. Найдите все значения 
при которых система уравнений 
не имеет решений.
Решение. Представим каждое уравнение системы в виде
Преобразуем первое уравнение системы, предварительно умножив его на
, 
, 
.
Получим:
при которых система уравнений не имеет решений. Решение. Представим каждое уравнение системы в виде
Преобразуем первое уравнение системы, предварительно умножив его на
, , . Получим:
Преобразуем второе уравнение системы, предварительно умножив его на 
, 
, 
.
Получим:
, , . Получим:
Рассмотрим два случая.
1. Если, то исходная система не имеет решений, если выполняются условия 5.2.1 и 5.2.2:
1. Если
, то исходная система не имеет решений, если выполняются условия 5.2.1 и 5.2.2: 2. Рассмотрим исходную систему при условии, что 
Подставляя значение в каждое уравнение этой системы, получим:
Очевидно, что, при система не имеет решений, так как 
Ответ:
Подставляя значение
в каждое уравнение этой системы, получим: Очевидно, что, при
система не имеет решений, так как Ответ:
Линейное уравнение может не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечное множество решений. Но не может, например, иметь два или три решения.