Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Уравнения с одной переменной
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением и записывают 
Областью определения (или областью допустимых значений) уравнения 
называют общую часть областей определения функций 
и 
называют общую часть областей определения функций и Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получаем верное равенство, называют корнем (решением) уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Число 
называют корнем кратности 
многочлена 
если справедливо равенство
где
– многочлен степени 
и – натуральные числа 
и 
называют корнем кратности многочлена если справедливо равенство где
– многочлен степени и – натуральные числа и Равносильные и неравносильные уравнения
1. Уравнения 
и 
называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней).
Записывают:
Н а п р и м е р:
1) уравнения
и 
равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число 
2) уравнения
и 
равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.
и называют равносильными, если множества их решений совпадают (они имеют равные корни либо не имеют корней). Записывают:
Н а п р и м е р:
1) уравнения
и равносильны, так решением каждого из этих уравнений является только число 2) уравнения
и равносильны, так как каждое из этих уравнений не имеет решений.2. Уравнение является следствием уравнения 
если его решение содержит все корни уравнения
Записывают:
Н а п р и м е р, уравнение
является следствием уравнения 
так как корнем уравнения 
является число 
а корнями уравнения – числа 
и 
является следствием уравнения если его решение содержит все корни уравнения Записывают:
Н а п р и м е р, уравнение
является следствием уравнения так как корнем уравнения является число а корнями уравнения – числа и 3. Если выполняются условия 
и 
то
и то Равносильные преобразования
1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
3. Замена уравнения 
системой уравнений 
системой уравнений Неравносильные преобразования
1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень (в результате могут появиться посторонние корни).
Н а п р и м е р, уравнения 
и 
не равносильны, так как уравнение корней не имеет, а уравнение имеет корень 
и не равносильны, так как уравнение корней не имеет, а уравнение имеет корень 2. Умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (могут появиться посторонние корни).
Н а п р и м е р, уравнения
и 
не равносильны, так как корнем уравнения является только число 
а корнями уравнения являются числа 
и 
Н а п р и м е р, уравнения
и не равносильны, так как корнем уравнения является только число а корнями уравнения являются числа и 3. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (может произойти потеря корней).
Н а п р и м е р: уравнения
и 
не равносильны, так как корнями уравнения являются числа и 
а корнем уравнения является только число 
Н а п р и м е р: уравнения
и не равносильны, так как корнями уравнения являются числа и а корнем уравнения является только число Пример 1. Найдите область определения уравнения ![LaTeX formula: \frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.](/uploads/formulas/7bba61303c94aa13d9a3b3e43e6c78c6c5ef8a5d.1.1.png "\frac{x-5}{21x}=\sqrt[3]{6+x}.")
Решение.
Функция
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль.
Функция
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением числа нуль.Функция ![LaTeX formula: g(x)=\sqrt[3]{6+x}](/uploads/formulas/149ff7cd4a9a5b90f644b9e886b3ba7999f5b0f1.1.1.png "g(x)=\sqrt[3]{6+x}")
определена на множестве всех действительных чисел.
определена на множестве всех действительных чисел.Следовательно, область определения данного уравнения имеет вид: 
Уравнения с двумя переменными
Решением уравнения 
с двумя переменными 
и 
является упорядоченная пара 
чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство.
Н а п р и м е р: решение уравнения
образует множество пар чисел таких как 
и т. д.
с двумя переменными и является упорядоченная пара чисел, при подстановке которых в уравнение, получим верное числовое равенство. Н а п р и м е р: решение уравнения
образует множество пар чисел таких как и т. д.Систему двух уравнений и 
с двумя переменными и записывают в виде 
Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы.
и с двумя переменными и записывают в виде Решение системы уравнений образуют только те пары чисел, которые являются решениями каждого уравнения системы.