Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции /qualihelpy

Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Справочник / Абитуриент / Тождественные преобразования тригонометрических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Арксинусом числа $LaTeX formula: a\in [-1;1]$ называют такое число $LaTeX formula: x\in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ , синус которого равен

, т. е. если $LaTeX formula: \sin x=a$ , то $LaTeX formula: \arcsin a = x$ .

Арккосинусом числа $LaTeX formula: a\in [-1;1]$ называют такое число $LaTeX formula: x\in [0;\pi]$ , косинус которого равен

, т. е. если $LaTeX formula: \cos x=a$ , $LaTeX formula: \arccos a=x$ .

Арктангенсом числа $LaTeX formula: a\in\textrm{R}$ называют такое число $LaTeX formula: x \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$ , тангенс которого равен

, т. е. если $LaTeX formula: \textrm{tg}x=a$ , то $LaTeX formula: \textrm{arctg} a=x$ .

Арккотангенсом числа $LaTeX formula: a\in\textrm{R}$ называют такое число $LaTeX formula: x\in [-1;1]$ , котангенс которого равен

, т. е. если $LaTeX formula: \textrm{ctg}x=a$ , то $LaTeX formula: \textrm{arcctg} a=x$ .

Н а п р и м е р:
1) $LaTeX formula: \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$ , так как $LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}}{2}\in [-1;1]$ и $LaTeX formula: \sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

2) $LaTeX formula: \arccos 1,1$ не определен, так как $LaTeX formula: 1,1\notin }[-1;1]$ .

Справедливы равенства:

$LaTeX formula: \sin(\arcsin x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in [-1;1]$ ; (4.35)

$LaTeX formula: \cos(\arccos x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in [-1;1]$ ; (4.36)

$LaTeX formula: \textrm{tg}(\textrm{arctg}x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in\textrm{R}$ ; (4.37)

$LaTeX formula: \textrm{ctg}(\textrm{arcctg}x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in\textrm{R}$ ; (4.38)

$LaTeX formula: \arcsin(\sin x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ ; (4.39)

$LaTeX formula: \arccos(\cos x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in [0;\pi]$ ; (4.40)

$LaTeX formula: \textrm{arctg}(\textrm{tg}x)=x$ , если $LaTeX formula: x \in \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right )$ ; (4.41)

$LaTeX formula: \textrm{arcctg}(\textrm{ctg}x)=x$ , если $LaTeX formula: x\in [-1;1]$ . (4.42)

Н а п р и м е р:
1) по формуле 4.35 $LaTeX formula: \sin(\arcsin0)=0$ ;

2) по формуле 4.39 $LaTeX formula: \arcsin(\sin(-37^{\circ}))=-37^{\circ}$ .

Преобразования функций отрицательного аргумента

$LaTeX formula: \arcsin(-\alpha)=-\arcsin\alpha$ ; (4.43)

$LaTeX formula: \arccos(-\alpha)=\pi-\arccos\alpha$ ; (4.44)

$LaTeX formula: \textrm{arctg}(-\alpha)=-\textrm{arctg}\alpha$ ; (4.45)

$LaTeX formula: \textrm{arcctg}(-\alpha)=\pi-\textrm{arcctg}\alpha$ . (4.46)

Н а п р и м е р:
1) по формуле 4.43 $LaTeX formula: \arcsin(-1)=-\arcsin 1=-\frac{\pi }{2}$ ;

2) по формуле 4.45 $LaTeX formula: \textrm{arctg}(-1)=-\textrm{arctg}1=-\frac{\pi }{4}$ ;

3) по формуле 4.46 $LaTeX formula: \textrm{arcctg}(-1)=\pi -\textrm{arcctg}1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ ;

4) по формуле 4.44 $LaTeX formula: \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ .

Пример 1. Найдите значение $LaTeX formula: \textrm{tg}\left ( \arccos\left ( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )-\frac{\pi }{2} \right )$ .
Решение. Применим формулу 4.44:

$LaTeX formula: A=\textrm{tg}\left (\pi-\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\pi }{2} \right )$ , $LaTeX formula: A=\textrm{tg}\left (\frac{\pi }{2}-\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )$ .
Введем подстановку: $LaTeX formula: \arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}=\alpha$ , откуда $LaTeX formula: \cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

Тогда по формуле приведения: $LaTeX formula: A=\textrm{tg}\left (\frac{\pi }{2}-\alpha \right )=\textrm{ctg}\alpha$ .

Найдем $LaTeX formula: \textrm{ctg}\alpha$ , зная $LaTeX formula: \cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
Согласно формуле $LaTeX formula: 1+\textrm{tg}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$ , получим:

$LaTeX formula: 1+\textrm{tg}^{2}\alpha=\left ( \frac{5}{2\sqrt{5}} \right )^{2}$ , откуда $LaTeX formula: \textrm{tg}^{2}\alpha=\frac{5}{4}-1$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}^{2}\alpha=\frac{1}{4}$ , $LaTeX formula: \textrm{tg}\alpha=\frac{1}{2}$ .

Так как $LaTeX formula: \textrm{tg}\alpha\cdot\textrm{ctg}\alpha=1$ , то $LaTeX formula: \textrm{ctg}\alpha=2$ .
Ответ: LaTeX formula: 2

Пример 2. Найдите значение выражения $LaTeX formula: \arccos(\cos940^{\circ})$ .

Решение. Учитывая основной период функции $LaTeX formula: y=\cos x$ и область определения функции $LaTeX formula: y=\arccos x$ , по формуле 4.40 получим:
$LaTeX formula: A=\arccos(\cos(940^{\circ}-1080^{\circ}))$ ,
$LaTeX formula: A=\arccos(\cos(-140^{\circ}))$ ,
$LaTeX formula: A=\arccos(\cos 140^{\circ})=140^{\circ}$ .
Ответ: $LaTeX formula: 140^{\circ}$ .

Применяя равенства $LaTeX formula: \arcsin(\sin x)=x$ и $LaTeX formula: \arccos(\cos x)=x$ , следите за тем, чтобы значение переменной LaTeX formula: x

удовлетворяло требованиям: $LaTeX formula: x\in \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$ в первом случае и $LaTeX formula: x\in [0;\pi]$ во втором случае.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_10_обратные_функции

Преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции