Основные формулы тригонометрии
Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
рад = 
, 
рад.
Н а п р и м е р:
рад, 
рад = 
.
; (4.2)
; (4.3)
; (4.4)
; (4.5)
. (4.6)
; (4.7)
; (4.8)
; (4.9)
; (4.10)
; (4.11)
. (4.12)
; (4.13)
. (4.14)
; (4.15)
. (4.16)
; (4.17)
; (4.18)
; (4.19)
; (4.20)
; (4.21)
. (4.22)
; (4.23)
; (4.24)
. (4.25)
; (4.26)
; (4.27) 
. (4.28) 
; (4.29)
; (4.31)
; (4.30)
. (4.32)
и 
.
; или ; 
;
; или ; 
;
; 
или 
; 
;
. или . 
.
Координатная окружность
Координатной окружностью (тригонометрической или единичной) называют окружность, на которой выбрано начало отсчета и указано направление обхода.
На рисунке 4.1 изображена координатная окружность с центром в точке
, радиус которой равен 1, а точка 
– начало отсчета.
На рисунке 4.1 изображена координатная окружность с центром в точке
, радиус которой равен 1, а точка – начало отсчета. Против часовой стрелки выбрано положительное направление обхода, следовательно, по часовой стрелке – отрицательное. Оси координат делят координатную плоскость на I, II, III и IV координатные четверти, а окружность – на четыре дуги, которые называют I, II, III и IV четвертями окружности.
Основной единицей измерения углов считают угол в 1 градус (обозначают 
).
). Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна ее радиусу.
Один радиан равен 
градусов, а один градус равен 
радиан. Следовательно:
градусов, а один градус равен радиан. Следовательно: рад = , рад. Н а п р и м е р:
рад, рад = .Рассмотрим координатную окружность радиуса 
с центром в точке 
(рис. 4.2).
с центром в точке (рис. 4.2).Ординату 
точки 
, полученной при повороте точки 
вокруг начала координат на 
радиан, называют синусом числа .
Абсциссу
точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют косинусом числа 
.
точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют синусом числа . Абсциссу
точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют косинусом числа .Записывают: 
, 
.
, .Если – угол первой координатной четверти, то точка имеет положительные координаты и, следовательно, 
и 
, а также
и 
.
– угол первой координатной четверти, то точка имеет положительные координаты и, следовательно, и , а также и . Если точка 
находится во второй координатной четверти, то абсцисса этой точки отрицательна, а ордината – положительна и, следовательно, 
, а 
, тогда 
и 
.
находится во второй координатной четверти, то абсцисса этой точки отрицательна, а ордината – положительна и, следовательно, , а , тогда и .Аналогично определяют знаки тригонометрических функций углов третьей и четвертой координатных четвертей.
Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических величин.
На рисунке 4.3 приведены значения функций синус, косинус и тангенс аргументов
, 
, 
, 
, 
, и 
.
На рисунке 4.3 приведены значения функций синус, косинус и тангенс аргументов
, , , , , и .Основные тригонометрические тождества
К основным тригонометрическим тождествам относят формулы, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
; (4.1)
; (4.1); (4.2); (4.3); (4.4); (4.5). (4.6)Формула 4.1 справедлива при любых значениях х. Формулы 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс и котангенс определены.
Формулы сложения
Формулы 4.7 – 4.12 позволяют представить тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов через функции этих аргументов или найти тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов, зная значения функций каждого аргумента.
; (4.7); (4.8); (4.9); (4.10); (4.11). (4.12)Формулы 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 справедливы при любых значениях х и у. Формулы 4.11 и 4.12 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы двойного аргумента
Формулы 4.13 и 4.14 позволяют уменьшить или увеличить аргумент тригонометрической функции в два раза.
; (4.13). (4.14)Формулы понижения степени
Формулы 4.15 и 4.16 позволяют понизить степень функций косинус и синус. Часто эти формулы называют формулами половинного аргумента.
; (4.15). (4.16)Формулы преобразования суммы в произведение
; (4.17); (4.18); (4.19); (4.20); (4.21). (4.22)Формулы 4.21 и 4.22 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы преобразования произведения в сумму
; (4.23); (4.24). (4.25)Универсальная тригонометрическая подстановка
; (4.26); (4.27) . (4.28) Формулы 4.26, 4.27, 4.28 позволяют выразить функции синус, косинус и тангенс некоторого аргумента через тангенс половинного аргумента. Формулы 4.26, 4.27, 4.28 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Преобразование функций отрицательных аргументов
Преобразования отрицательных аргументов тригонометрических функций основано на том, что функция косинус является четной, а функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными.
; (4.29); (4.31); (4.30). (4.32)Формулы приведения
Формулы приведения позволяют каждую тригонометрическую функцию некоторого аргумента записать как функцию острого угла .
. Формула П 1. Если аргумент функции имеет вид 
, то необходимо:
, то необходимо: 1) поставить знак исходной функции, считая угол острым;
острым; 2) функцию переписать;
3) 
отбросить, переписать.
отбросить, переписать.Формула П 2. Если аргумент функции имеет вид 
или 
, то необходимо:
или , то необходимо: 1) поставить знак исходной функции, считая угол острым;
острым; 2) функцию заменить на кофункцию;
3) или отбросить, переписать.
или отбросить, переписать.Поставить знак исходной функции – значит установить – положительная эта функция или отрицательная. Если функция положительная, то после знака равно поставить «+», а если отрицательная, то поставить знак «–».
Функции синус и косинус, а также тангенс и котангенс называют кофункциями.
Функции синус и косинус, а также тангенс и котангенс называют кофункциями.
Н а п р и м е р. Покажем, что 
. Так как аргумент функции косинус 
находится в третьей координатной четверти (угол 
считаем острым) и 
(рис 4.4), то мы поставили после знака равно «–» и согласно формуле П 1 записали: 
.
. Так как аргумент функции косинус находится в третьей координатной четверти (угол считаем острым) и (рис 4.4), то мы поставили после знака равно «–» и согласно формуле П 1 записали: .Н а п р и м е р. Покажем, что 
. Так как аргумент функции синус 
находится во второй координатной четверти (рис. 4.4) и 
, то согласно формуле П 2 записали: 
.
. Так как аргумент функции синус находится во второй координатной четверти (рис. 4.4) и , то согласно формуле П 2 записали: .Если функция возведена в четную степень, то, применяя формулы приведения, можем не определять знак значения функции:
.
.Пример 1. Преобразуйте в произведение сумму 
.
.Решение. Запишем выражение в виде:
.
. 
, 
,
,
.
, 
,
. Ответ: 
.
.Пример 2. Вычислите 
, если 
.
, если .Решение. Вычтем из аргумента функции косинус ее два основных периода и применим формулу 4.10:
, 
,
, 
,
.
Так как
, а , то 
.
, , , , . Так как
, а , то . и .Тогда, 
.
Ответ:
.
. Ответ:
.Пример 3. Вычислите 
, если 
.
, если .
Подставляя значения 
и 
в выражение 
, получим:
.
Ответ:
.
и в выражение , получим: . Ответ:
.Пример 4. Найдите 
, если 
, 
и 
, 
.
, если , и , .
, откуда 
Так как и , то при 
получим: 
.
и , то при получим: .Ответ: 
.
.Выполняя преобразования и вычисления тригонометрических выражений необходимо помнить, что целое количество основных периодов функции можно вычитать из аргумента функции или прибавлять к ее аргументу:
ФУНКЦИЯ ОСНОВНОЙ ПЕРИОД ФОРМУЛА ( 
)
); или ; ;; или ; ;; или ; ;. или . .